Wykorzystujemy warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego.

Skoro funkcja $f$ ma minimum lokalne w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.

Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ ma równanie:

$y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Skoro $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$, to

styczna ma równanie:

$y=f\left(x_0\right)$

Obliczmy wartość funkcji $f$ dla argumentu $x_0$.

$f\left(x_0\right)=x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}$

Zatem współczynnik kierunkowy tej prostej to $0$, natomiast wyrazem wolnym jest $x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}$.

Funkcja liniowa przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $\left(0,b\right)$.

$b=x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}$

Zatem styczna do wykresu funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie

 $A=\left(0,x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}\right)$

Rzędna tego punktu to $x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}$.

Z treści zadania wiemy, że

 $x_0>0$

dodatkowo

$m^2+7>0$

zatem

$\frac{m^2+7}{x_0}>0$

więc dla dowolnego $m\in R$

$x_0^2+\frac{m^2+7}{x_0}>0$

Odp. Rzędna punktu $A$ jest dodatnia.