Liczby rzeczywiste x_1,x_2,...,x_n...- Zadanie 1: Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Jeżeli $a, b, c$ są liczbami dodatnimi oraz $a \neq = 1, b \neq = 1$ , to:

$lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}$ - wzór na zmianę podstawy logarytmu

$lo g_{a} c^{p} = p \cdot lo g_{a} c$ gdzie $p \in R$

Założenia:

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0$

$x_{1} \neq = 1, x_{2} \neq = 2, \dots, x_{n} \neq = 1$

Teza:

$2 lo g_{x_{1}} x_{2} \cdot lo g_{x_{2}} x_{3} \cdot lo g_{x_{3}} x_{4} \cdot \dots \cdot lo g_{x_{n - 1}} x_{n} = lo g_{x_{1}} x_{n}^{2}$

Dowód:

Zauważmy, że korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu dostajemy

$lo g_{x_{2}} x_{3} = \frac{lo g _{x_{1}} x _{3}}{lo g _{x_{1}} x _{2}}$

Analogicznie postępujemy dla kolejnych logarytmów.

Dla $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0$ oraz $x_{1} \neq = 1, x_{2} \neq = 2, \dots, x_{n} \neq = 1$ dostajemy po lewej stronie:

$L = 2 lo g_{x_{1}} x_{2} \cdot \frac{lo g _{x_{1}} x _{3}}{lo g _{x_{1}} x _{2}} \cdot \frac{lo g _{x_{1}} x _{4}}{lo g _{x_{1}} x _{3}} \cdot \dots \cdot \frac{lo g _{x_{1}} x _{n}}{lo g _{x_{1}} x _{n - 1}}$

Zauważmy, że

$L = 2 l o g_{x_{1}} x_{2} \cdot \frac{l o g _{x_{1}} x _{3}}{l o g _{x_{1}} x _{2}} \cdot \frac{lo g _{x_{1}} x _{4}}{l o g _{x_{1}} x _{3}} \cdot \dots \cdot \frac{lo g _{x_{1}} x _{n}}{lo g _{x_{1}} x _{n - 1}} =$