Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy w okręgu ma miarę dwukrotnie większą od miary kąta wpisanego w ten okrąg opartego na tym samym łuku

---

a)

Rozważamy okrąg o środku w punkcie O. Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że kąty ACB oraz ADB są kątami wpisanymi, opartymi na tym samym łuku - łuku AB. To oznacza, że mają takie same miary

Stąd

$\alpha =\underline{\underline{{30}^{\circ }}}$  

Z kolei, kąt BAD jest kątem wpisanym opartym na średnicy okręgu. To oznacza, że jest on kątem prostym. 

^{(trójkąt ADB jest prostokątny, ponieważ środkiem opisanego na nim okręgu jest środek odcinka AB)}

To oznacza, że

$\left|\sphericalangle DAB\right|={90}^{\circ }$  

Miarę kąta 𝛽 obliczamy z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie ADB. Mamy:

$\alpha +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }$

${30}^{\circ }+\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }$

$\beta +{120}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -{120}^{\circ }$

Stąd

$\beta =\underline{\underline{{60}^{\circ }}}$  

Odp.: 𝛼 =30°, 𝛽 =60°.

---

b)

Rozważamy okrąg o środku w punkcie O. Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że kąt ADB jest kątem wpisanym, opartym na łuku AB (łuku zaznaczonym kolorem niebieskim). Z kolei kąt 𝛼 jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym mamy:

$\alpha =2\cdot \left|\sphericalangle ADB\right|=2\cdot {145}^{\circ }=\underline{\underline{{290}^{\circ }}}$  

Kąt AOB jest dopełnieniem kąta 𝛼 do kąta pełnego, stąd

$\left|\sphericalangle AOB\right|={360}^{\circ }-{290}^{\circ }={70}^{\circ }$  

Kąt AOB jest kątem środkowym, opartym na łuku AB (łuku zaznaczonym kolorem zielonym). Zauważmy, że kąt 𝛽 jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku. Wobec tego, z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym, otrzymujemy, że

$\beta =\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle AOB\right|=\frac{1}{2}\cdot {70}^{\circ }=\underline{\underline{{35}^{\circ }}}$

Odp.: 𝛼 =290°, 𝛽 =35°.

---

c)

Rozważamy okrąg o środku w punkcie O. Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Rozważamy trójkąt OCB. Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny, w którym

$\left|OB\right|=\left|OC\right|=r$  

Stąd, kąty przy podstawie BC tego trójkąta są sobie równe, czyli

$\left|\sphericalangle BCO\right|=\left|\sphericalangle OBC\right|={60}^{\circ }$  

Z sumy miar kątów w trójkącie BOC mamy:

$\left|\sphericalangle BOC\right|={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Kąt 𝛼  jest przyległy do kąta BOC, stąd

$\alpha ={180}^{\circ }-{60}^{\circ }=\underline{\underline{{120}^{\circ }}}$  

Rozważmy teraz trójkąt AOC. Jest to trójkąt równoramienny, w którym

$\left|OA\right|=\left|OB\right|=r$   

Stąd, kąty przy podstawie AC tego trójkąta są sobie równe, czyli

$\left|\sphericalangle CAO\right|=\left|\sphericalangle ACO\right|=\beta$

Z sumy miar kątów w tym trójkącie otrzymujemy

$\alpha +\beta +\beta ={180}^{\circ }$   

${120}^{\circ }+2\beta ={180}^{\circ }\mid -{120}^{\circ }$  

$2\beta ={60}^{\circ }\mid :2$  

$\beta =\underline{\underline{{30}^{\circ }}}$  

Odp.: 𝛼 =120°, 𝛽 =30°.