Wiadomo z treści zadania, że długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r, r>0. 

Mamy obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

---

Oznaczmy przez a długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta. Wtedy krótsza przyprostokątna ma długość

$b=a-r$  

a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w trójkącie prostokątnym, więc będzie miała długość

$c=a+r$  

Zakładamy, że  a>0 oraz a>r. 

Oznaczamy przez x - promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Przypomnijmy, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b oraz przeciwprostokątna ma długość c, to 

$x=\frac{a+b-c}{2}$  

Zatem

$x=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a-r+a-\left(a+r\right)}{2}=\frac{a-r+a-a-r}{2}=\frac{a-2r}{2}$  

---

Aby wyliczyć a, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+{\left(a-r\right)}^2={\left(a+r\right)}^2$  

Stosujemy wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy

$a^2+\underset{{\left(a-r\right)}^2}{\underbrace{a^2-2ar+r^2}}=\underset{{\left(a+r\right)}^2}{\underbrace{a^2+2ar+r^2}}$  

$2a^2-2ar+r^2-a^2-2ar-r^2=0$  

$a^2-4ar=0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

$a\left(a-4r\right)=0$  

Stąd

$a=0\vee a-4r=0$  

Zauważmy, że a jest długością boku trójkąta, więc nie może być równa zero. Stąd mamy, że

$a-4r=0$  

Czyli

$a=4r$  

---

Wstawiamy otrzymane a do wzoru na x - promień okręgu wpisanego w rozważany trójkąt i otrzymujemy:

$x=\frac{a-2r}{2}=\frac{4r-2r}{2}=\underline{\underline{r}}$  

---

Odp.: Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość r.