Tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta  𝛼 ∈ [0°, 180°] prawdziwe są zależności: $\text{1.}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$   $\text{2.}\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\alpha \ne {90}^{\circ }$   Wzór 1. nazywany jest jedynką trygonometryczną.

---

Z treści zadania wiemy, że 𝛼 jest kątem ostrym oraz

${\text{tg}}^2\alpha -8=0$  

Mamy obliczyć sin𝛼.

---

Wyznaczamy najpierw cos²𝛼. Korzystamy  z zależności między tangensem a sinusem i cosinusem tego samego kąta:

${\text{tg}}^2\alpha =8$  

$\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)=8$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=8$  

${\sin }^2\alpha =8{\cos }^2\alpha$  

$8{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \mid :8$  

Czyli

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{8}{\sin }^2\alpha$  

Korzystamy teraz z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{8}{\sin }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{8}{\sin }^{\alpha }=1\mid \cdot \frac{8}{9}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$  

Czyli

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{8}{9}}\vee \sin \alpha =-\sqrt{\frac{8}{9}}$  

Kąt 𝛼 jest ostry, zatem sin𝛼>0. Wobec tego uwzględniamy wyłącznie rozwiązanie dodatnie. 

Stąd

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}$  

Czyli

$\underline{\underline{\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}}}$