Z treści zadania wiemy, że chłopiec stojący na balkonie rzucił pionowo do góry kauczukową piłeczkę.

Wysokość piłeczki (w metrach) w zależności od czasu (w sekundach) można opisać funkcją kwadratową

$h\left(t\right)=-5t^2+10t+5$  

---

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji. 

Zakładamy, że  czas oraz wysokość piłeczki są liczbami nieujemnymi.

Wobec tego zakładamy, że

$\text{1)}t\ge 0\text{oraz}\text{2)}\underset{h\left(t\right)}{\underbrace{-5t^2+10t+5}}\ge 0$   

Rozwiązujemy 2) warunek.

$-5t^2+10t+5\ge 0\mid :5$  

$-t^2+2t+1\ge 0$  

Obliczamy  pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 1=4+4=8$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

$t_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=1+\sqrt{2}$

$t_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=1-\sqrt{2}$

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej. Szkicujemy parabolę, której ramiona są skierowane ku dołowi, ponieważ współczynnik przy t² we wzorze trójmianu jest ujemny.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$t\in \left[-1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right]$  

Uwzględniamy 1) warunek, że t przyjmuje wartości nieujemne i ostatecznie mamy, że dziedziną funkcji h jest zbiór:

$D=\left[0;1+\sqrt{2}\right]$  

---

Wyznaczamy, jak długo piłeczka będzie nad ziemią na wysokości nie mniejszej niż 5 m. 

Wyznaczamy wobec tego zbiór rozwiązań nierówności:

$h\left(t\right)\ge 5,\text{gdzie}t\in \left[0;1+\sqrt{2}\right]$  

Mamy:

$-5t^2+10t+5\ge 5$  

$-5t^2+10t\ge 0$  

$-5t\left(t-2\right)\ge 0$   

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$-5t\left(t-2\right)=0$  

Czyli

   $-5t=0\vee t-2=0$   

$t=0\vee t=2$  

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej. Szkicujemy parabolę, której ramiona będą skierowane ku dołowi.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$t\in \left[0;2\right]$  

Oznacza to, że piłeczka będzie nad ziemią na wysokości nie mniejszej niż 5 m przez 2 sekundy.

---

Obliczamy maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się piłeczka. 

Funkcja h, która opisuje wysokość, na jakiej znajduje się piłeczka, jest funkcją kwadratową. Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji h są skierowane ku dołowi, ponieważ współczynnik przy t² we wzorze funkcji h jest ujemny. Oznacza to, że funkcja h przyjmuje największą wartość równą q - drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli.

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli.

$h\left(t\right)=-5t^2+10t+5$   

$p=\frac{-10}{2\cdot \left(-5\right)}=\frac{-10}{-10}=1$  

Oznacza to, że maksymalną wysokość piłka osiąga w 1 sekundzie ruchu.  Obliczamy tę maksymalną wysokość:

$q=h\left(1\right)=-5\cdot 1^2+10\cdot 1+5=-5+10+5=10$  

Wobec tego

$h_{\text{max}}=10\text{m}$  

Maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się piłeczka, jest równa 10 m.