Postać ogólna  wzoru funkcji kwadratowej: $y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$ Parabola przecina oś Oy w punkcie (0, c). Postać kanoniczna  wzoru funkcji kwadratowej: $y=a{\left(x-p\right)}^2+q$   gdzie p, q są współrzędnymi wierzchołka W(p, q) paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej. Parabola jest symetryczna względem prostej    $x=p$   Jeżeli istnieje największa/najmniejsza wartość funkcji kwadratowej to jest ona równa q.

---

a)

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej 

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+1$  

jest symetryczny względem prostej   $x=2$   

To oznacza, że 

$p=2$  

Wiemy również, że najmniejsza wartość funkcji kwadratowej jest równa -3. To oznacza, że 

$q=-3$  

Zatem wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f jest punkt W(2,-3).

Ze wzoru funkcji f odczytujemy, że współczynnik c jest równy 1. Stąd mamy, że wykres funkcji f przecina oś Oy w punkcie (0,1).  Zatem

$f\left(0\right)=1$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-2\right)}^2-3$

Obliczamy współczynnik a, korzystając z faktu, że

$f\left(0\right)=1$  

Mamy:

$1=a{\left(0-2\right)}^2-3$  

$1=4a-3$  

$4a=4\mid :4$  

$a=1$  

Otrzymujemy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-3$  

Sprowadzamy wzór funkcji f do postaci ogólnej. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$f\left(x\right)=x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$

Postać ogólna wzoru funkcji f: 

$f\left(x\right)=\underline{\underline{x^2-4x+1}}$  

---

b)

Wiemy, że największą wartością funkcji kwadratowej

$f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$  

jest równa 8. 

Wyznaczamy współczynnik a.

Zauważmy, że wzór funkcji f jest podany w postaci iloczynowej. Ze wzoru funkcji odczytujemy miejsca zerowe:

$x_1=-1,x_2=3$    

Skoro mamy miejsca zerowe funkcji, to możemy wyznaczyć pierwszą współrzędną wierzchołka. Mamy:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Skoro największą wartością funkcji f jest 8, to

$q=8$  

Zatem wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f jest punkt W(1,8).

Wstawiamy do wzoru funkcji f współrzędne wierzchołka i obliczamy współczynnik a.

$8=a\left(1+1\right)\left(1-3\right)$

$8=a\cdot 2\cdot \left(-2\right)$  

$8=-4a\mid :\left(-4\right)$  

$\underline{\underline{a=-2}}$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\underline{\underline{-2{\left(x-1\right)}^2+8}}$