Przypomnijmy, że funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem $f\left(x\right)=ax+b,\text{dla}x\in \mathbb{R}$   gdzie a i b są stałymi Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę b - wyrazem wolnym. Punkt przecięcia prostej   $y=ax+b$   z osią Oy ma współrzędne  $\left(0,b\right)$

---

a)

Rozważamy funkcję liniową

$f\left(x\right)=6x+3$  

Wyznaczamy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, czyli wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności

$f\left(x\right)\ge 0$  

Mamy

$6x+3\ge 0$   

$6x\ge -3\mid :6$  

$x\ge -\frac{3}{6}$  

$x\ge -\frac{1}{2}$  

Zatem funkcja f przyjmuje wartości nieujemne dla 

$x\in \left[-\frac{1}{2};\infty \right)$

Wyznaczymy teraz pole figury ograniczonej wykresem funkcji f i osiami układu współrzędnych. W tym celu wyznaczamy punkty wspólne wykresu funkcji i osi układu współrzędnych.

• Ze wzoru funkcji f wynika, że prosta będąca wykresem funkcji f przecina oś OY w punkcie (0,3).
• Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostej z osią OX. Przypomnijmy, że punkty wspólne wykresu funkcji i osi OX to miejsca zerowe funkcji f. 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$   

$6x+3=0$  

$6x=-3$  

$x=-\frac{3}{6}$  

$x=-\frac{1}{2}$  

Zatem miejscem zerowym funkcji f jest   $x=-\frac{1}{2}$  . To oznacza, że do wykresu funkcji f należy punkt  $\left(-\frac{1}{2},0\right).$  

Szkicujemy wykres funkcji f i zaznaczamy figurę, której pole mamy obliczyć.

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość  3 i   $\frac{1}{2}.$  

Ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3=\underline{\underline{\frac{3}{4}}}$  

---

b)

Rozważamy funkcję liniową

$f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x-4$  

Wyznaczamy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, czyli wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności

$f\left(x\right)\ge 0$  

Mamy

$-\frac{2}{3}x-4\ge 0$  

$-\frac{2}{3}x\ge 4\mid :\frac{-2}{3}$  

$x\le 4:\left(-\frac{2}{3}\right)$  

$x\le 4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$  

$x\le -6$  

Zatem funkcja f przyjmuje wartości nieujemne dla 

$x\in \left(-\infty ,-6\right]$

Wyznaczymy teraz pole figury ograniczonej wykresem funkcji f i osiami układu współrzędnych. W tym celu wyznaczamy punkty wspólne wykresu funkcji i osi układu współrzędnych.

• Ze wzoru funkcji f wynika, że prosta będąca wykresem funkcji f przecina oś OY w punkcie (0,-4).
• Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostej z osią OX. Przypomnijmy, że punkty wspólne wykresu funkcji i osi OX to miejsca zerowe funkcji f. 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$   

$-\frac{2}{3}x-4=0$  

$-\frac{2}{3}x=4\mid \cdot 3$  

$-2x=12\mid :\left(-2\right)$  

$x=-6$  

Zatem miejscem zerowym funkcji f jest   $x=-6$  . To oznacza, że do wykresu funkcji f należy punkt  $\left(-6,0\right).$  

Szkicujemy wykres funkcji f i zaznaczamy figurę, której pole mamy obliczyć.

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 4 i 6.

Ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=\underline{\underline{12}}$  

---

c)

Rozważamy funkcję liniową

$f\left(x\right)=\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}$  

Wyznaczamy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, czyli wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności

$f\left(x\right)\ge 0$  

Mamy

$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}\ge 0$  

$\frac{5}{2}x\ge \frac{5}{2}\mid :\frac{5}{2}$  

$x\ge 1$  

Zatem funkcja f przyjmuje wartości nieujemne dla 

$x\in \left[1;\infty \right)$

Wyznaczymy teraz pole figury ograniczonej wykresem funkcji f i osiami układu współrzędnych. W tym celu wyznaczamy punkty wspólne wykresu funkcji i osi układu współrzędnych.

• Ze wzoru funkcji f wynika, że prosta będąca wykresem funkcji f przecina oś OY w punkcie  $\left(0,-\frac{5}{2}\right)$  .
• Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostej z osią OX. Przypomnijmy, że punkty wspólne wykresu funkcji i osi OX to miejsca zerowe funkcji f. 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$   

$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}=0$  

$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}\mid :\frac{5}{2}$  

$x=1$  

Zatem miejscem zerowym funkcji f jest   $x=1$  . To oznacza, że do wykresu funkcji f należy punkt  $\left(1,0\right).$  

Szkicujemy wykres funkcji f i zaznaczamy figurę, której pole mamy obliczyć.

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 1 i  $\frac{5}{2}$  .

Ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{5}{2}=\underline{\underline{\frac{5}{4}}}$