Wyznaczamy liczbę rozwiązań równania:

$\left|x\right|+\sqrt{2}=2-m$  

w zależności od parametru m

---

•   $m=\sqrt{2}$   

Wstawiamy do równania m=√2 i otrzymujemy:

$\left|x\right|+\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$   

$\left|x\right|=2-\sqrt{2}-\sqrt{2}$  

$\left|x\right|=2-2\sqrt{2}$  

$\left|x\right|=2\left(1-\sqrt{2}\right)$  

Zauważmy, że prawa strona równania jest liczbą ujemną, bo

$1<\sqrt{2}$  

więc 

  $1-\sqrt{2}<0$  

Wartość bezwzględna przyjmuje zawsze wartości nieujemne, co oznacza, że otrzymane równanie jest sprzeczne, czyli nie ma rozwiązań.

---

•   $m=\frac{1}{2}$   

Wstawiamy do równania m=½ i otrzymujemy:

$\left|x\right|+\sqrt{2}=2-\frac{1}{2}$  

$\left|x\right|=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$  

$\left|x\right|=1,5-\sqrt{2}$  

Zauważmy, że prawa strona równania jest liczbą dodatnią, bo

$\sqrt{2}\approx 1,41<1,5$  

więc

$1,5-\sqrt{2}>0$  

Stąd

$x=1,5-\sqrt{2}\vee x=-\left(1,5-\sqrt{2}\right)$  

Zatem równanie ma dwa rozwiązania.

---

Odp. Dla m=√2 równanie nie ma rozwiązań, a dla m=½  równanie ma dwa rozwiązania.