Prostopadłość i równoległość prostych

Proste o równaniach kierunkowych y=a1x+b1 i y=a2x+b2 są

$\text{roˊwnoległe, gdy}{a}_1=a_2$   $\text{prostopadłe, gdy}{a}_1\cdot a_2=-1$

---

a)

Wyznaczamy równanie prostej, która przechodzi przez punkt P=(-2, 3) i jest prostopadła do prostej

$l:3y+x=6$  

Sprowadzamy równanie prostej l do postaci kierunkowej.

$3y=-x+6\mid :3$  

$y=-\frac{1}{3}+2$  

Niech szukana prosta ma równanie

$y=ax+b$  

Współczynnik kierunkowy prostej l jest równy

$a_l=-\frac{1}{3}$  

Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostej l, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą przeciwną i odwrotną do a_l. Czyli

$a=-\frac{1}{a_l}=3$   

Stąd mamy, że

$y=3x+b$  

Wstawiamy do równania współrzędne punktu P=(-2,3), który przechodzi przez prostą i obliczamy wyraz wolny b.

$3=3\cdot \left(-2\right)+b$

$3=-6+b\mid +6$   

$9=b$  

Czyli

$b=9$  

Stąd szukana prosta ma równanie

$\underline{\underline{y=3x+9}}$  

---

b)

Wyznaczamy równanie prostej, która przechodzi przez punkt P=(-2, 3) i jest prostopadła do prostej

$l:0,5x-2y+1=0$   

Sprowadzamy równanie prostej l do postaci kierunkowej.

$-2y=-0,5x-1$  

$-2y=-\frac{1}{2}x-1\mid :\left(-2\right)$  

$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$  

Niech szukana prosta ma równanie

$y=ax+b$  

Współczynnik kierunkowy prostej l jest równy

$a_l=\frac{1}{4}$  

Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostej l, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą przeciwną i odwrotną do a_l. Czyli

$a=-\frac{1}{a_l}=-4$   

Stąd mamy, że

$y=-4x+b$  

Wstawiamy do równania współrzędne punktu P=(-2,3), który przechodzi przez prostą i obliczamy wyraz wolny b.

$3=-4\cdot \left(-2\right)+b$

$3=8+b\mid -8$   

$-5=b$  

Czyli

$b=-5$  

Stąd szukana prosta ma równanie

$\underline{\underline{y=-4x-5}}$  

---

c)

Wyznaczamy równanie prostej, która przechodzi przez punkt P=(-2, 3) i jest prostopadła do prostej

$l:10x-5=0$   

Przekształcamy równanie prostej l

$10x=5\mid :10$  

$x=\frac{1}{2}$  

Zauważmy, że prosta l jest prostą pionową, zatem szukana prosta, skoro jest prostopadła do prostej l, jest prostą poziomą, czyli ma równanie postaci

$y=b$  

Skoro punkt P(2, 3) należy do szukanej prostej, to ta prosta ma równanie

$\underline{\underline{y=3}}$