Rozważamy trójkąt ABC, w którym

$\left|AB\right|=8\left[\text{cm}\right],\left|AC\right|=3\left[\text{cm}\right],\left|\sphericalangle CAB\right|={60}^{\circ }$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

---

Aby wyznaczyć obwód trójkąta ABC, wyznaczymy długość odcinka BC, czyli a. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC mamy:

$a^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos {60}^{\circ }$  

$a^2=9+64-48\cdot \frac{1}{2}$  

$a^2=73-24$  

$a^2=49\wedge a>0$  

Stąd

$a=\underline{\underline{7}}\left[\text{cm}\right]$  

Mając długości wszystkich boków trójkąta ABC, możemy obliczyć obwód tego trójkąta.

$L=3+8+7=\underline{\underline{18}}\left[\text{cm}\right]$  

---

Mamy obliczyć cosinus największego kąta w trójkącie. Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku, czyli boku o długości 8 cm. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC, mamy:

$8^2=3^2+7^2-2\cdot 3\cdot 7\cdot \cos \left|\sphericalangle ACB\right|$  

$64=9+49-42\cos \left|\sphericalangle ACB\right|$  

$64=58-42\cos \left|\sphericalangle ACB\right|$  

$42\cos \left|\sphericalangle ACB\right|=58-64$  

$42\cos \left|\sphericalangle ACB\right|=-6\mid :42$  

Stąd

$\cos \left|\sphericalangle ACB\right|=-\frac{6}{42}=\underline{\underline{-\frac{1}{7}}}$