W gimnazjum były już wprowadzone
układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.
W liceum, wraz z wprowadzeniem
funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.
Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.
Przykład:
$x = y + 1$$y^2 = 2z + 3$$z = 3x + y$Z pierwszego równania wyznaczamy
$y$:
$y = x - 1$Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$Wyznaczamy
$z$$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$$x^2 - 10x = 0$Pierwsze
rozwiązanie:
$x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.
Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez
$x$ otrzymujemy
$x_2 = 10$Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$$y_2 = 10 - 1 = 9$I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$$z_2 = 3x_2 + y_2$$z_2 = 3×10 + 9 = 39$Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb
$(0,-1,-1)$ oraz
$(10, 9, 39)$.
Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania
$z$ nie podstawić do jednego równania
$x_1$ i
$y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:
$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$
Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:
$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$
Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$
Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$
Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$
Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$
b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$
Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$