Skonstruuj trójkąt, którego kąty mają miary

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.

W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$