Skonstruuj trójkąt, którego kąty mają miary - Zadanie 45: Matematyka z plusem 1. Zbiór zadań - strona 99
Matematyka
Wybierz książkę
Skonstruuj trójkąt, którego kąty mają miary 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Skonstruuj trójkąt, którego kąty mają miary

44
 Zadanie

45
 Zadanie

45
 Zadanie
46
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby zobaczyć najnowsze.

a) 

b) 

c)

DYSKUSJA
klasa:
Select...
Informacje
Autorzy: M Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
ISBN: 9788374201704
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Działania na granicach
Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.
Układy równań
W gimnazjum były już wprowadzone układy równań liniowych, więc nie powinno być problemem rozwiązanie ich. Dla przypomnienia: metoda polegała na tym, aby z pierwszego równania wyliczyć jedną zmienną, podstawić ją w drugim równaniu i wyliczyć drugą, podstawić tę do trzeciego - i tak dalej.

W liceum, wraz z wprowadzeniem funkcji kwadratowej, pojawiają się układy równań kwadratowych. Sposób rozwiązywania pozostaje jednak taki sam: kolejno wyznaczamy zmienne i podstawiamy je do następnych równan.

Jedyna różnica między układami liniowymi i kwadratowymi wynika ze specyfiki funkcji kwadratowej - może wyjść więcej niż jedno rozwiązanie.

Przykład:
$x = y + 1$
$y^2 = 2z + 3$
$z = 3x + y$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:
$y = x - 1$

Podstawiamy do drugiego:
$(x-1)^2 = 2z + 3$

Wyznaczamy $z$
$z = {(x-1)^2 - 3}/{2}$

I podstawiamy wszystko do trzeciego równania:
${(x-1)^2 - 3}/{2} = 3x + (x-1)$
$(x-1)^2 - 3 = (4x - 1)×2$
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 8x - 2$
$x^2 - 10x = 0$

Pierwsze rozwiązanie: $x_1 = 0$, równanie jest prawdziwe.

Drugie rozwiązanie: dzieląc obie strony przez $x$ otrzymujemy $x_2 = 10$

Teraz wystarczy jedynie podstawić wyniki do pierwszego równania:
$y_1 = 0 - 1 = -1$
$y_2 = 10 - 1 = 9$

I ostatecznie wyliczyć z:
$z_1 = 3x_1 + y_1$
$z_1 = 3×0 + (-1) = -1$
$z_2 = 3x_2 + y_2$
$z_2 = 3×10 + 9 = 39$

Jak widać, rozwiązaniami układu równań są trójki liczb $(0,-1,-1)$ oraz $(10, 9, 39)$.

Uwaga: trzeba pamiętać o tym, aby nie mieszać ze sobą przypadków, tzn. na przykład w trakcie wyliczania $z$ nie podstawić do jednego równania $x_1$ i $y_2$ - to są dwa zupełnie różne przypadki.
 

Ćwieczenie 1. Rozwiązać układ równań:

$y^2 = 5x + 2$
$3z = 2y - x$
$z = -2x + y$

Zaczynamy od podstawienia do równania drugiego $z$ z równania trzeciego:

$3(-2x + y) = 2y -x$
$6x - x = 3y - 2y$
$5x = y$

Możemy teraz wstawić otrzymanego $y$-a do równania pierwszego obliczając $x$:
$(5x)^2 = 5x + 2$
$25x^2 - 5x - 2= 0$

Używając wzorów Viete'a możemy rozłożyć tę funkcję na iloczyn:
$(5x - 2)(5x + 1) = 0$

Rozpatujemy teraz dwa przypadki:
a) $5x - 2 = 0$
$5x = 2$
$x = {2}/{5}$

Wtedy $y = 5x = 2$ oraz $z = -2x + y = -{4}/{5} + 2 = {6}/{5}$

b) $5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -{1}/{5}$

Wtedy $y = 5x = -1$ oraz $z = -2(-{1}/{5}) -1 = -{3}/{5}$

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom