Własności potęg

1. Iloczyn potęg o tych samych podstawach

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

2. Iloraz potęg o tych samych podstawach

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

3. Potęga potęgi

${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

gdzie a ≠ 0, n, m - liczby naturalne

---

a)

Korzystamy najpierw ze wzoru na potęgę potęgi (wzór 3.), a następnie ze wzoru na iloraz potęg (wzór 2.).

${\left(11^3\right)}^4:{\left(11^2\right)}^5\stackrel{1}{=}11^{3\cdot 4}:11^{2\cdot 5}=11^{12}:11^{10}\stackrel{2}{=}11^{12-10}=11^2=11\cdot 11=\underline{\underline{121}}$

---

b)

W liczniku ułamka korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg (wzór 1.), a w mianowniku stosujemy wzór na potęgę potęgi (wzór 3.).

$\frac{2^2\cdot 2^{10}}{{\left(2^3\right)}^5}\stackrel{1,3}{=}\frac{2^{2+10}}{2^{3\cdot 5}}=\frac{2^{12}}{2^{15}}=\frac{2^{12}}{2^{12+3}}=\frac{{\cancel{2^{12}}}^1}{{}_1\cancel{2^{12}}\cdot 2^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2}=\underline{\underline{\frac{1}{8}}}$

Powyżej w mianowniku skorzystaliśmy ze wzoru na iloczyn potęg i zapisaliśmy liczbę 2¹⁵ w postaci iloczynu dwóch potęg.