Trójkąt o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$
Trójkąt prostokątny równoramienny, czyli trójkąt o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ ma boki długości:
$a,a,a\sqrt{2}$

---

a)

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta ma długość $5\text{cm}.$ Jeżeli przyprostokątne mają długość $a,$ to przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}.$Spójrzmy na rysunek:

Wobec tego:

$a\sqrt{2}=5|:\sqrt{2}$

$a=\frac{5}{\sqrt{2}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika i otrzymujemy, że przyprostokątne trójkąta mają długości:

$a=\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\left[\text{cm}\right]$

Nanosimy dane na rysunek:

Obliczamy obwód:

$Obw.=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}+5=\frac{10\sqrt{2}}{2}+5=\underline{\underline{\left(5\sqrt{2}+5\right)}}\left[\text{cm}\right]$

---

b)

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta ma długość $9\text{cm}.$ Jeżeli przyprostokątne mają długość $a,$ to przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}.$Spójrzmy na rysunek:

Wobec tego:

$a\sqrt{2}=9|:\sqrt{2}$

$a=\frac{9}{\sqrt{2}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika i otrzymujemy, że przyprostokątne trójkąta mają długości:

$a=\frac{9}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\left[\text{cm}\right]$

Nanosimy dane na rysunek:

Obliczamy obwód:

$Obw.=\frac{9\sqrt{2}}{2}+\frac{9\sqrt{2}}{2}+9=\frac{18\sqrt{2}}{2}+9=\underline{\underline{\left(9\sqrt{2}+9\right)}}\left[\text{cm}\right]$

---

c)

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta ma długość $6\sqrt{2}\text{cm}.$ Jeżeli przyprostokątne mają długość $a,$ to przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}.$Spójrzmy na rysunek:

Wobec tego:

$a\sqrt{2}=6\sqrt{2}|:\sqrt{2}$

$a=6\left[\text{cm}\right]$

Nanosimy dane na rysunek:

Obliczamy obwód:

$Obw.=6+6+6\sqrt{2}=\underline{\underline{\left(6\sqrt{2}+12\right)}}\left[\text{cm}\right]$

---

d)

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta ma długość $\sqrt{6}\text{cm}.$ Jeżeli przyprostokątne mają długość $a,$ to przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}.$Spójrzmy na rysunek:

Wobec tego:

$a\sqrt{2}=\sqrt{6}|:\sqrt{2}$

$a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Korzystamy z własności pierwiastków:

$a=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}[\text{cm}]$

Nanosimy dane na rysunek:

Obliczamy obwód:

$Obw.=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=\underline{\underline{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)}}\left[\text{cm}\right]$