Wykonaj polecenia. Jeśli poprawnie...- Zadanie 1: Matematyka z kluczem 7

Rozwiązanie

Poziom A

Długość jednej przyprostokątnej oznaczono literą $x,$ a długość drugiej przyprostokątnej jest równa $5 .$ Długość przeciwprostokątnej oznaczono wyrażeniem $\frac{y}{2} .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla tego trójkąta zachodzi równość:

$x^{2} + 5^{2} = (\frac{y}{2})^{2}$

Możemy także zapisać: $36 .$

$x^{2} + 25 = \frac{y ^{2}}{4}$

Długość jednej przyprostokątnej oznaczono literą $s,$ a długość drugiej przyprostokątnej jest równa $(x + 1) .$ Długość przeciwprostokątnej oznaczono wyrażeniem $t .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla tego trójkąta zachodzi równość:

$(x + 1)^{2} + s^{2} = t^{2}$

Długość jednej przyprostokątnej oznaczono literą $k,$ a długość drugiej przyprostokątnej jest równa $6 .$ Długość przeciwprostokątnej oznaczono wyrażeniem $(b + 1) .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla tego trójkąta zachodzi równość:

$k^{2} + 6^{2} = (b + 1)^{2}$

Długość jednej przyprostokątnej oznaczono jako $(a - 2),$ a długość drugiej przyprostokątnej jest równa $2 .$ Długość przeciwprostokątnej oznaczono wyrażeniem $\frac{k}{5} .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla tego trójkąta zachodzi równość:

$(a - 2)^{2} + 2^{2} = (\frac{k}{5})^{2}$

czyli

$(a - 2)^{2} + 4 = \frac{k ^{2}}{25}$

Długość jednej przyprostokątnej oznaczono wyrażeniem $a$ a długość drugiej przyprostokątnej jest równa $18 .$ Długość przeciwprostokątnej oznaczono wyrażeniem $2 a .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla tego trójkąta zachodzi równość:

$a^{2} + 1 8^{2} = (2 a)^{2}$

Długości przyprostokątnych trójkąta oznaczono literami $p$ i $m,$ a długość przeciwprostokątnej - literą $n .$ Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa w rozważanym trójkącie zachodzi równość

$p^{2} + m^{2} = n^{2}$

Poziom B

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 10, b = 24$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2}$

$c^{2} = 100 + 576$

$c^{2} = 676, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 676 = \underline{\underline{26}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $26 .$

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 72, b = 21$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 7 2^{2} + 2 1^{2}$

$c^{2} = 5184 + 441$

$c^{2} = 5625, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 5625 = \underline{\underline{75}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $75 .$

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 12, b = 35$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 1 2^{2} + 3 5^{2}$

$c^{2} = 144 + 1225$

$c^{2} = 1369, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 1369 = \underline{\underline{37}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $37 .$

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 18, b = 80$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 1 8^{2} + 8 0^{2}$

$c^{2} = 324 + 6400$

$c^{2} = 6724, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 6724 = \underline{\underline{82}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $82 .$

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 105, b = 100$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 10 5^{2} + 10 0^{2}$

$c^{2} = 10000 + 11025$

$c^{2} = 21025, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 21025 = \underline{\underline{145}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $145 .$

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości

$a = 16, b = 30$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$c^{2} = 1 6^{2} + 3 0^{2}$

$c^{2} = 256 + 900$

$c^{2} = 1156, c > 0$

^{$c$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$c = 1156 = \underline{\underline{34}}$

Odp. Przeciwprostokątna ma długość $34 .$

Poziom C

Mamy podane długości dwóch boków: $15, 39 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $39,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $15 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 15^{2} = 39^{2}$

$a^{2} + 225 = 1521 ∣ - 225$

$a^{2} = 1521 - 225$

$a^{2} = 1296, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 1296 = \underline{\underline{36}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $36 .$

Mamy podane długości dwóch boków: $58, 40 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $58,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $40 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 40^{2} = 58^{2}$

$a^{2} + 1600 = 3364 ∣ - 1600$

$a^{2} = 3364 - 1600$

$a^{2} = 1764, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 1764 = \underline{\underline{42}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $42 .$

Mamy podane długości dwóch boków: $68, 32 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $68,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $32 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 32^{2} = 68^{2}$

$a^{2} + 1024 = 4624 ∣ - 1024$

$a^{2} = 4624 - 1024$

$a^{2} = 3600, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 3600 = \underline{\underline{60}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $60 .$

Mamy podane długości dwóch boków: $8, 17 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $17,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $8 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 8^{2} = 17^{2}$

$a^{2} + 64 = 289 ∣ - 64$

$a^{2} = 289 - 64$

$a^{2} = 225, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 225 = \underline{\underline{15}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $15 .$

Mamy podane długości dwóch boków: $37, 12 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $37,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $12 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 12^{2} = 37^{2}$

$a^{2} + 144 = 1369 ∣ - 144$

$a^{2} = 1369 - 144$

$a^{2} = 1225, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 1225 = \underline{\underline{35}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $35 .$

Mamy podane długości dwóch boków: $7, 25 .$ Dłuższym z boków jest przeciwprostokątna, która wobec tego ma długość $25,$ a jedna z przyprostokątnych ma długość $7 .$ Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w powyższym trójkącie i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$a^{2} + 7^{2} = 25^{2}$

$a^{2} + 49 = 625 ∣ - 49$

$a^{2} = 625 - 49$

$a^{2} = 576, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$a = 576 = \underline{\underline{24}}$

Odp. Druga przyprostokątna ma długość $24 .$

Poziom D

Przyprostokątne trójkąta mają długości $8$ i $15,$ a przeciwprostokątna ma długość $x .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$8^{2} + 1 5^{2} = x^{2}$

$64 + 225 = x^{2}$

$289 = x^{2}$

Czyli

$x^{2} = 289, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 289 = \underline{\underline{17}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $17 .$

Przyprostokątne trójkąta mają długości $24$ i $x,$ a przeciwprostokątna ma długość $51 .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$2 4^{2} + x^{2} = 5 1^{2}$

$576 + x^{2} = 2601 ∣ - 576$

$x^{2} = 2601 - 576$

Czyli

$x^{2} = 2025, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 2025 = \underline{\underline{45}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $45 .$

Przyprostokątne trójkąta mają długości $14$ i $x,$ a przeciwprostokątna ma długość $50 .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$1 4^{2} + x^{2} = 5 0^{2}$

$196 + x^{2} = 2500 ∣ - 196$

$x^{2} = 2500 - 196$

$x^{2} = 2304, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 2304 = \underline{\underline{48}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $48 .$

Przyprostokątne trójkąta mają długości $24$ i $70,$ a przeciwprostokątna ma długość $x .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$2 4^{2} + 7 0^{2} = x^{2}$

$576 + 4900 = x^{2}$

$5476 = x^{2}$

Czyli

$x^{2} = 5476, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 5476 = \underline{\underline{74}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $74 .$

Przyprostokątne trójkąta mają długości $5$ i $x,$ a przeciwprostokątna ma długość $13 .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$5^{2} + x^{2} = 1 3^{2}$

$25 + x^{2} = 169 ∣ - 25$

$x^{2} = 169 - 25$

Czyli

$x^{2} = 144, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 144 = \underline{\underline{12}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $12 .$

Przyprostokątne trójkąta mają długości $x$ i $20,$ a przeciwprostokątna ma długość $29 .$ Z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie otrzymujemy równość:

$x^{2} + 2 0^{2} = 2 9^{2}$

$x^{2} + 400 = 841 ∣ - 400$

$x^{2} = 841 - 400$

Czyli

$x^{2} = 441, x > 0$

^{$x$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

$x = 441 = \underline{\underline{21}}$

Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość $21 .$

MISTRZ

Aby obliczyć długość $x,$ musimy najpierw obliczyć długość odcinka zaznaczonego na czerwono. Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym na niebiesko trójkącie prostokątnym.

$6^{2} + h^{2} = 1 0^{2}$

$36 + h^{2} = 100 ∣ - 36$

$h^{2} = 100 - 36$

$h^{2} = 64, h > 0$

^{$h$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

^{$h = 64 = 8$}

Długość $x$ obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w drugim trójkącie prostokątnym, który zaznaczyliśmy na poniższym rysunku.

Otrzymujemy równość:

$8^{2} + 1 5^{2} = x^{2}$

$64 + 225 = x^{2}$

$289 = x^{2}$

Czyli

$x^{2} = 289, x > 0$

$x = 289 = \underline{\underline{17}}$

Odp.: Długość odcinka oznaczonego literą $x$ jest równa $17.$

Aby obliczyć długość $x,$ musimy najpierw obliczyć długość odcinka zaznaczonego na czerwono. Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym na niebiesko trójkącie prostokątnym.

$5^{2} + 2^{2} = a^{2}$

$25 + 4 = a^{2}$

$29 = a^{2}$

Czyli

$a^{2} = 29, a > 0$

^{$a$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

^{$a = 29$}

Obliczymy teraz długość $c .$ Stosujemy twierdzenia Pitagorasa w drugim trójkącie prostokątnym, który zaznaczyliśmy na poniższym rysunku.

Otrzymujemy równość:

$c^{2} + 2^{2} = (29)^{2}$

$c^{2} + 4 = 29 ∣ - 4$

$c^{2} = 29 - 4$

Czyli

$c^{2} = 25, c > 0$

$c = 25 = \underline{\underline{5}}$

Znając długości dwóch boków w trójkącie, w którym jest bok o długości $x,$ możemy wyznaczyć długość trzeciego boku. Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym na powyższym rysunku trójkącie i otrzymujemy równość.

$x^{2} + 2^{2} = 5^{2}$

$x^{2} + 4 = 25 ∣ - 4$

$x^{2} = 21, x > 0$

$x = \underline{\underline{21}}$

Odp.: Długość odcinka oznaczonego literą $x$ jest równa $21 .$

Aby obliczyć długość $x,$ musimy najpierw obliczyć długość odcinka zaznaczonego na czerwono. Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym na niebiesko trójkącie prostokątnym.

$9^{2} + h^{2} = 1 5^{2}$

$81 + h^{2} = 225 ∣ - 81$

$h^{2} = 225 - 81$

$h^{2} = 144, h > 0$

^{$h$ jest długością boku, więc jest liczbą dodatnią.}

^{$h = 144 = 12$}

Długość $x$ obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w drugim trójkącie prostokątnym, który zaznaczyliśmy na poniższym rysunku.

Otrzymujemy równość:

$1 2^{2} + y^{2} = 1 3^{2}$

$144 + y^{2} = 169 ∣ - 144$

$y^{2} = 169 - 144$

Czyli

$x^{2} = 25, x > 0$

$x = 25 = \underline{\underline{5}}$

Odp.: Długość odcinka oznaczonego literą $x$ jest równa $5 .$

Aby obliczyć długość odcinka $x$ obliczamy od wyznaczania długości w trójkątach prostokątnym, w których mamy podane długości dwóch boków. Spójrzmy na trójkąt zaznaczony na poniższym rysunku.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy:

$3^{2} + 4^{2} = c^{2}$

$9 + 16 = c^{2}$

$25 = c^{2}$

Czyli

$c^{2} = 25, c > 0$

$c = 25 = 5$

Wyznaczymy długość kolejnego odcinka. Spójrzmy na rysunek.

Z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym trójkącie obliczamy długość odcinka oznaczonego literą $h .$ Przeciwprostokątna trójkąta ma długość $15 .$

$h^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$

$h^{2} + 144 = 225 ∣ - 144$

$h^{2} = 225 - 144$

$h^{2} = 81 ∣, h > 0$

$h = 81 = 9$

Odcinek o długości $h$ składa się z dwóch odcinków, z których jeden ma długość $3 .$ Oznacza to, że drugi odcinek ma długość $6 .$ Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym trójkącie:

$a^{2} + 6^{2} = 1 0^{2}$

$a^{2} + 36 = 100 ∣ - 36$

$a^{2} = 100 - 36$

$a^{2} = 64, a > 0$

$a = 64 = 8$

Odcinek o długości $x$ jest przeciwprostokątną w zaznaczonym poniżej trójkącie:

Przyprostokątne tego trójkąta mają długości $9$ i $12 .$ Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w rozważanym trójkącie i otrzymujemy równość:

$9^{2} + 1 2^{2} = x^{2}$

$81 + 144 = x^{2}$

$225 = x^{2}$

Czyli

$x = 225, x > 0$

$x = 225 = \underline{\underline{15}}$

Odp. Długość szukanego odcinka jest równa $15 .$

Mamy obliczyć odcinek oznaczonego literą $z .$ Najpierw obliczmy długość odcinka w trójkącie prostokątnym, w którym mamy podane długości dwóch boków. Spójrzmy na rysunek: