Rozważamy liczbę naturalną $n$.

a)

Każda kolejna liczba naturalna jest o $1$ większa od poprzedzającej ja liczby naturalnej.

Wobec tego:

• Następna liczba naturalna to $n+1$
• Jeszcze następna liczba naturalna to liczba o $1$ większa od $n+1$, czyli  $n+1+1=n+2$
• Poprzednia liczba naturalna to liczba o $1$ mniejsza od $n$, czyli  $n-1$

---

b)

Z podpunktu a) wiemy, że trzy kolejne liczby naturalne możemy zapisać jako:

$n,n+1,n+2$

Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych:

$n+n+1+n+2=\underline{\underline{3n+3}}$

---

c)

Należy pokazać, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$. 

Sumę tych liczb możemy zapisać jako:

$n+n+1+n+2=3n+3=3\cdot (n+1)$

Sumę trzech kolejnych liczb naturalnych możemy zapisać w postaci iloczynu liczby $3$ oraz sumy liczb $n$ i $1$. Liczby $n$ i $1$ są naturalne, więc liczba $n+1$ jest również naturalna. 

Oznacza to, że iloczyn $3\cdot \left(n+1\right)$ dzieli się przez $3$, czyli suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$. 

---

d)

Zauważmy, że

$1+2+3+4=10$

Liczba $10$ nie jest podzielna przez $4$, więc suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie zawsze dzieli się przez $4$. 

Sprawdzimy teraz, czy suma  pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $5$. 

Niech $n$ będzie liczbą naturalną. Wyrażenie opisujące sumę pięciu kolejnych liczb naturalnych to:

$n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10=5\cdot (n+2)$

Sumę pięciu kolejnych liczb naturalnych możemy więc zapisać w postaci iloczynu liczby $5$ i liczby naturalnej $n+2$. To oznacza, że powyższy iloczyn dzieli się przez $5$, czyli suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $5$.