Własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ Boki trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ mają długości $a,\frac{1}{2}a,\frac{a\sqrt{3}}{2}$. $a$ - leży naprzeciw kąta $90^{\circ }$ $\frac{1}{2}a$ - leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$ Własności trójkąta o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ Boki trójkąta o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ mają długości $x,x,x\sqrt{2}$. Boki o długości $x$ to przyprostokątne trójkąta, a bok o długości $x\sqrt{2}$ to przeciwprostokątna trójkąta.

---

Zacznijmy od wyznaczenia długości boków trójkąta $KMN$.

Spójrzmy na rysunek:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Mamy:

$\left|KM\right|=a=34\text{cm}$

$\left|MN\right|=\frac{1}{2}a$

$\left|KN\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Długość odcinka $MN$ jest równa:

$\left|MN\right|=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot 34=17\text{[cm]}$

Długość odcinka $KN$ jest równa:

$\left|KN\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{34}}^{17}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=17\sqrt{3}\text{[cm]}$

Pierwsze zdanie jest prawdziwe. (bo $\left|MN\right|=17\mathrm{cm}$)

---

Aby ocenić prawdziwość drugiego zdania, potrzebujemy wyznaczyć  długości boków trójkąta $MNL$.

Spójrzmy na rysunek:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$.

Mamy:

$\left|MN\right|=\left|NL\right|=x=17\text{cm}$

$\left|LM\right|=x\sqrt{2}=17\sqrt{2}\text{cm}$

Mając dane długości wszystkich odcinków, wróćmy do trójkąta $KLM$. 

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że odcinek $KL$ składa się z dwóch krótszych odcinków: $KN$ oraz $NL$.

Zatem:

$\left|KL\right|=\left|KN\right|+\left|NL\right|=17\sqrt{3}+17\text{[cm]}$

Obwód trójkąta $KLM$ wynosi:

$Obw.=\left|KL\right|+\left|LM\right|+\left|KM\right|=17\sqrt{3}+17+17\sqrt{2}+34=51+17\sqrt{2}+17\sqrt{3}\text{[cm]}$

Zauważmy, że:

$51+17\sqrt{2}+17\sqrt{3}\ne 51+34\sqrt{6}$

Drugie zdanie jest fałszywe.

---

Uzupełniona tabelka przedstawia się następująco:

Wysokość $MN$ ma długość...	P	F
Obwód trójkąta $KLM$ jest równy...	P	F