Wypiszemy najpierw założenie i tezę.

Założenie:

Obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego wynosi $\left(4+2\sqrt{2}\right)\text{cm}$.

Teza:

Przyprostokątna w tym trójkącie ma długość $2\mathrm{cm}$.

Dowód:

Najpierw wykonamy rysunek pomocniczy i skorzystamy z własności trójkąta o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$- tyle wynoszą kąty wewnętrzne trójkąta prostokątnego równoramiennego.

Oznaczmy długości przyprostokątnych tego trójkąta jako $a$.

Mamy:

Wiemy, że obwód trójkąta wynosi $\left(4+2\sqrt{2}\right)\text{cm}$. Skorzystajmy z tej informacji, ułóżmy równanie i wyznaczmy długość $a$.

$a+a+a\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$

$2a+a\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$

W każdej ze stron równania wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias:

$a\cdot 2+a\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2+2\cdot \sqrt{2}$

$a\left(2+\sqrt{2}\right)=2\left(2+\sqrt{2}\right)$

Zauważmy, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie równania, znajduje się taki sam czynnik:

$2+\sqrt{2}$

Podzielmy równanie obustronnie przez ten czynnik:

$a\left(2+\sqrt{2}\right)=2\left(2+\sqrt{2}\right)|:\left(2+\sqrt{2}\right)$

$a=2\text{[cm]}$

Rozwiązaniem równania jest $a=2\mathrm{cm}$, co pokazuje, że przyprostokątna w tym trójkącie ma długość $2\mathrm{cm}$.