Własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ Boki trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ mają długości $a,\frac{1}{2}a,\frac{a\sqrt{3}}{2}$. $a$ - leży naprzeciw kąta $90^{\circ }$ $\frac{1}{2}a$ - leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$

---

a)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $AB$ leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$\frac{1}{2}a=10\mathrm{cm}$

Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez $2$, otrzymamy długość odcinka $AB$:

$\frac{1}{2}a=10|\cdot 2$

$a=20\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|BC\right|=20\mathrm{cm}}$ 

Długość boku $AC$ jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{20}}^{10}\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=10\sqrt{3}\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|AC\right|=10\sqrt{3}\text{cm}}$

---

b)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $ML$ leży naprzeciw kąta $90^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$a=28\mathrm{cm}$

Bok $MK$ leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$, zatem:

$\left|MK\right|=\frac{1}{2}a$

$\left|MK\right|=\frac{1}{2}\cdot 28\text{cm}$

$\underline{\left|MK\right|=14\mathrm{cm}}$

Długość boku $KL$ jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{28}}^{14}\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=14\sqrt{3}\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|KL\right|=14\sqrt{3}\text{cm}}$

---

c)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $PR$ leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\mathrm{cm}$

Rozwiązując powyższe równanie, otrzymamy długość odcinka $QR$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{a}{2}=9|\cdot 2$

$a=18\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|QR\right|=18\mathrm{cm}}$ 

Długość boku $PQ$ jest równa $\frac{1}{2}a$:

$\left|PQ\right|=\frac{1}{2}a$

$\left|PQ\right|=\frac{1}{2}\cdot 18\mathrm{cm}$

$\underline{\left|PQ\right|=9\mathrm{cm}}$

---

d)

 Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $EF$ leży naprzeciw kąta $90^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$a=12\sqrt{2}\text{cm}$

Bok $DF$ leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$, zatem:

$\left|DF\right|=\frac{1}{2}a$

$\left|DF\right|=\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{2}\text{cm}$

$\underline{\left|DF\right|=6\sqrt{2}\mathrm{cm}}$

Długość boku $ED$ jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{12}}^6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=6\sqrt{6}\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|ED\right|=6\sqrt{6}\text{cm}}$

---

e)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $MO$ leży naprzeciw kąta $30^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$\frac{1}{2}a=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$

Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez $2$, otrzymamy długość odcinka $NO$:

$\frac{1}{2}a=4\sqrt{3}|\cdot 2$

$a=8\sqrt{3}\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|NO\right|=8\sqrt{3}\mathrm{cm}}$ 

Długość boku $MN$ jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{8}}^4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=4\cdot 3=12\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|MN\right|=12\text{cm}}$

---

f)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Skorzystamy z własności trójkąta o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$.

Zauważmy, że bok $AC$ leży naprzeciw kąta $60^{\circ }$, stąd oznaczenie:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\mathrm{cm}$

Rozwiązując powyższe równanie, otrzymamy długość odcinka $BC$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=15|\cdot 2$

$a\sqrt{3}=30|\cdot \sqrt{3}$

$3a=30\sqrt{3}|:3$

$a=10\sqrt{3}\text{[cm]}$

Zatem:

$\underline{\left|BC\right|=10\sqrt{3}\mathrm{cm}}$ 

Długość boku $AB$ jest równa $\frac{1}{2}a$:

$\left|AB\right|=\frac{1}{2}a$

$\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\mathrm{cm}$

$\underline{\left|AB\right|=5\sqrt{3}\mathrm{cm}}$