Dane są liczby...- Zadanie 7: Matematyka w punkt 7

Rozwiązanie

Zapiszmy najpierw liczby $a$ i $b$ w postaci iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$a = 6^{4} = (2 \cdot 3)^{4} = 2^{4} \cdot 3^{4}$

$b = 1 2^{2} = (4 \cdot 3)^{2} = 4^{2} \cdot 3^{2} = (2^{2})^{2} \cdot 3^{2} = 2^{4} \cdot 3^{2}$

Zapiszmy sumę $a + b$ w najprostszej postaci. Skorzystamy z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

$2^{4} \cdot 3^{4} + 2^{4} \cdot 3^{2} = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} + 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 1 = 2^{4} \cdot 3^{2} (3^{2} + 1) = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot (9 + 1) = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 10$

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Zapiszmy różnicę $a - b$ w najprostszej postaci. Skorzystamy z prawa rozdzielności mnożenia względem odejmowania, czyli: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

$2^{4} \cdot 3^{4} - 2^{4} \cdot 3^{2} = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} - 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 1 = 2^{4} \cdot 3^{2} (3^{2} - 1) = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot (9 - 1) = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 8 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 2^{3} = 2^{4 + 3} \cdot 3^{2} = 2^{7} \cdot 3^{2}$

Drugie zdanie jest prawdziwe.

Zapiszmy iloczyn $a \cdot b$ w najprostszej postaci.

$2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2^{4} \cdot 3^{2} = 2^{4 + 4} \cdot 3^{4 + 2} = 2^{8} \cdot 3^{6} = 2^{2} \cdot 2^{6} \cdot 3^{6} = 2^{2} \cdot (2 \cdot 3)^{6} = 2^{2} \cdot 6^{6} = 4 \cdot 6^{6} \neq = 6^{8}$

Trzecie zdanie jest fałszywe.

Zapiszmy iloraz $\frac{a}{b}$ w najprostszej postaci.

$\frac{2 ^{4} \cdot 3 ^{4}}{2 ^{4} \cdot 3 ^{2}} = \frac{3 ^{4}}{3 ^{2}} = 3^{4 - 2} = 3^{2} = 9$

Czwarte zdanie jest prawdziwe.

Uzupełniona tabelka przedstawia się następująco:

Sumę liczb $a$ i $b$ można zapisać w postaci...	P	F
Różnicę $a - b$ można zapisać w postaci...	P	F
Iloczyn liczb $a$ i $b$ można zapisać w postaci...	P	F
Iloraz $\frac{a}{b}$ jest równy...	P	F