Treść:

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cos α = ^√2/₃.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

$\text{A.}15\sqrt{2}$  

$\text{B.}45$

$\text{C.}5\sqrt{2}$

$\text{D.}10$

---

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy, pamiętając o tym, że podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat:

Przekątną graniastosłupa zaznaczyliśmy kolorem czerwonym, a przekątną podstawy graniastosłupa - kolorem zielonym. 

Wiemy, że przekątna kwadratu o boku długości a ma długość:

$a\sqrt{2}$

Zatem przekątna y kwadratu o boku długości 15 ma długość:

$y=15\sqrt{2}$   

Z treści zadania wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$  

Z definicji cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym możemy zapisać, zależność:

$\cos \alpha =\frac{y}{x}$

Podstawiając odpowiednie liczby za cos α i y, otrzymujemy:

$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{x}\mid \cdot x$

$\frac{\sqrt{2}}{3}x=15\sqrt{2}\mid \cdot 3$   

$\sqrt{2}x=45\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$

$\underline{\underline{x=45}}$    

---

Odp. B.