Przekształćmy podaną nierówność

$\left(m^2+4m-5\right)x^2+2x>2mx-2\mid -2mx+2$  

$\left(m^2+4m-5\right)x^2+2x-2mx+2>0$  

$\left(m^2+4m-5\right)x^2+\left(2-2m\right)x+2>0$  

Aby podana nierówność była spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste powinna

• być nierównością kwadratową taką, że a>0 i Δ<0
• być nierównością kwadratową dla której a=b=0 i c>0 (zatem jest liniowa)

---

1. Rozpatrzymy warunki

$a>0\wedge \Delta <0$

  $m^2+4m-5>0\wedge {\left(2-2m\right)}^2-4\cdot \left(m^2+4m-5\right)\cdot 2<0$  

  $m^2-m+5m-5>0\wedge 4-8m+4m^2-8m^2-32m+40<0$

$m\left(m-1\right)+5\left(m-1\right)>0\wedge -4m^2-40m+44<0$  

$\left(m-1\right)\left(m+5\right)>0\wedge m^2+10m-11>0$  

Obliczmy pomocniczo dla drugiej nierówności

$m^2+10m-11>0$  

$m^2-m+11m-11>0$  

$m\left(m-1\right)+11\left(m-1\right)>0$  

$\left(m-1\right)\left(m+11\right)>0$  

Stąd

$\left(m-1\right)\left(m+5\right)>0\wedge \left(m-1\right)\left(m+11\right)>0$  

$m\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(1,+\infty \right)\wedge m\in \left(-\infty ,-11\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

$\underline{m\in \left(-\infty ,-11\right)\cup \left(1,+\infty \right)}$  

2. Rozpatrzymy warunki, gdy

$a=0\wedge b=0$  

$m^2+4m-5=0\wedge 2-2m=0$  

$\left(m-1\right)\left(m+5\right)=0\wedge 2m=2$  

$\left[m=1\vee m=-5\right]\wedge m=1$  

$\underline{m=1}$  

Wtedy c = 2 > 0 i nierówność jest prawdziwa.

---

Otrzymujemy z 1. i 2.

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,-11\right)\cup ⟨1,+\infty )}}$