a)

 Zapiszmy, że w trójkącie równoramiennym o obwodzie 18 oznaczymy

$b\text{ - ramię troˊjkąta}$

$a=18-2b\text{ - podstawa troˊjkąta}$   

Mamy

Obliczmy wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa 

$h^2=b^2-a^2$  

$h^2=b^2-{\left(\frac{18-2b}{2}\right)}^2$  

$h^2=b^2-{\left(9-b\right)}^2$  

$h^2=b^2-\left(81-18b+b^2\right)$  

$h^2=b^2-81+18b-b^2$  

$h^2=18b-81$  

Ponieważ długość wysokości musi być dodatnia

$h=\sqrt{18b-81}$  

Zapiszmy wzór na pole trójkąta

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$  

Zatem funkcja zależna od ramienia b, będzie miała postać

$P\left(b\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(18-2b\right)\cdot \sqrt{18b-81}=\frac{\left(18-2b\right)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}$  

Zgadza się to z podanym wzorem.

c.b.d.u.

---

b)

Wyznaczmy dziedzinę funkcji.

1. Długości boków trójkąta muszą być dodatnie, zatem

$b>0$  

$a>0$  

To oznacza, że

$18-2b>0\mid +2b$  

$18>2b\mid :2$  

$\underline{9>b}$  

2. Ze względu na charakter zadania musi zachodzić nierówność trójkąta

$2b>a$  

$2b>18-2b\mid +2b$  

$4b>18\mid :4$  

$\underline{b>4\frac{1}{2}}$  

Nierówność a+b > b zachodzi ze względu na to, że długości boków są dodatnie.

3. Pole powinno być dodatnie

$\frac{\left(18-2b\right)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}>0$  

$18-2b>0$  

$\underline{9>b}$  

(Zauważmy, że z warunku 2) wynika nam nieujemność wyrażenia pod pierwiastkiem w przepisie funkcji.)

Stąd dziedziną funkcji P jest przedział

$\underline{\underline{b\in \left(4\frac{1}{2},9\right)}}$  

---

c)

Chcemy aby pole było największe, zatem szukamy maksimum funkcji P(b). Przekształćmy wzór do prostszej postaci

$P\left(b\right)=\frac{\left(18-2b\right)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}=\frac{2\left(9-b\right)\cdot 3\sqrt{2b-9}}{2}=3\left(9-b\right)\sqrt{2b-9}$  

Obliczmy pochodną

$P{}^{\prime }\left(b\right)=\left(3\left(9-b\right)\right){}^{\prime }\cdot \sqrt{2b-9}+3\left(9-b\right)\cdot \left(\sqrt{2b-9}\right){}^{\prime }=-3\sqrt{2b-9}+3\left(9-b\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{2b-9}}\cdot 2=-3\sqrt{2b-9}+\frac{27-3b}{\sqrt{2b-9}}=\frac{-3\left(2b-9\right)+27-3b}{\sqrt{2b-9}}=\frac{-6b+27+27-3b}{\sqrt{2b-9}}=\frac{-9b+54}{\sqrt{2b-9}}$  

Szukamy miejsc zerowych funkcji P'

$P{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-9b+54}{\sqrt{2b-9}}=0$  

$-9b+54=0\mid +9b$  

$9b=54\mid :9$  

$b=6\in \mathbb{D}$  

O znaku pochodnej decyduje wyrażenie -9b+54.

Zauważmy, że

$P{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }b\in \left(6,9\right)$  

$P{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }b\in \left(4\frac{1}{2},6\right)$  

Funkcja maleje w przedziale

$⟨6,9)$  

Funkcja rośnie w przedziale

$(4\frac{1}{2},6⟩$  

Mamy maksimum funkcji w punkcie b = 6. Zatem długości boków trójkąta dla których pole jest największe wynoszą

$b=6$

$a=18-2\cdot 6=18-12=6$   

Największe pole ma trójkąt równoboczny.