Oznaczmy przez d₁ odległość w kilometrach zastępu Tropiciele od miejscowości A do C. Zapiszemy zależność odległości d₁ od czasu t wyrażonego w godzinach, jaki upłynął od momentu wyruszenia z miejscowości A. Mamy

$d_1\left(t\right)=4t$  

Skoro zastęp ten poruszał się z prędkością 4 ^km/_h, a miał do przejścia 20 km, to 

$t\in ⟨0,5⟩$

Oznaczmy przez d₂ odległość w kilometrach zastępu Korsarze od miejscowości B do A. Zapiszemy zależność odległości d₁ od czasu t wyrażonego w godzinach, jaki upłynął od momentu wyruszenia z miejscowości B. Zastęp ten poruszał się z prędkością 2 ^km/_h. Mamy

$d_2\left(t\right)=15-2t,t\in ⟨0,\frac{15}{2}⟩$  

Zapiszmy wzór funkcji opisujący odległość d między tymi dwoma zastępami w chwili t. Mamy

$d\left(t\right)=\sqrt{d_1^2\left(t\right)+d_2^2\left(t\right)}=\sqrt{{\left(4t\right)}^2+{\left(15-2t\right)}^2}=\sqrt{16t^2+225-60t+4t^2}=\sqrt{20t^2-60t+225},t\in ⟨0,\frac{15}{2}⟩$ 

Aby wyznaczyć o której godzinie odległość między tymi zastępami jest najmniejsza, wyznaczymy dla jakiej wartości t funkcja d osiąga wartość najmniejszą. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, wyznaczmy pochodną funkcji d.

$d^{\prime }\left(t\right)=\left(\sqrt{20t^2-60t+225}\right){}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{20t^2-60t+225}}\cdot \left(20t^2-60t+225\right){}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{20t^2-60t+225}}\cdot \left(40t-60\right)=\frac{20t-30}{\sqrt{20t^2-60t+225}},t\in ⟨0,\frac{15}{2}⟩$  

Rozwiążmy równanie.

$$\begin{gathered} d^{\prime }\left(t\right)=0 \\ \frac{20t-30}{\sqrt{20t^2-60t+225}}=0|\cdot \sqrt{20t^2-60t+225}>0 \\ 20t-30=0|+30 \\ 20t=30|:20 \\ t=\frac{3}{2}\in ⟨0,\frac{15}{2}⟩ \end{gathered}$$  

Zauważmy, że

$$\begin{gathered} d^{\prime }\left(t\right)>0:t\in (\frac{3}{2},\frac{15}{2}⟩ \\ {d}^{\prime }\left(t\right)<0:t\in ⟨0,\frac{3}{2}) \end{gathered}$$ 

Stąd funkcja d maleje a potem rośnie, zatem w

$t=\frac{3}{2}=1,5\text{h}$

osiąga minimum i jest to wartość najmniejsza na tym przedziale. Zastęp wyruszył o 9:00, stąd odległość między tymi zastępami będzie najmniejsza o godzinie 10:30.