a)

Z wykresu odczytujemy, że

• współczynnik przy najwyżej potędze będzie dodatni
• pierwiastek x=1 ma krotność k₁=2
• pierwiastek x=-2 jest jednokrotny

Stąd

$W\left(x\right)=a\left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2,a>0$

Zatem po rozwinięciu

$W\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x^2-2x+1\right)=a\left(x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2\right)=a\left(x^3-3x+2\right)=a{x}^3-3ax+2a$

Obliczmy pochodną tego wielomianu.

$W^{\prime }\left(x\right)=a\cdot 3x^2-3a=3a\left(x^2-1\right)$

Korzystając z treści zadania zapisujemy, że

$$\begin{gathered} W^{\prime }\left(-2\right)=18 \\ 3a\left({\left(-2\right)}^2-1\right)=18 \\ 3a\cdot \left(4-1\right)=18 \\ 9a=18 \\ a=2 \end{gathered}$$

A stąd wielomian ma wzór

$W\left(x\right)=2x^3-6x+4$

---

b)

Obliczmy

$W\left(3\right)=2\cdot 3^3-6\cdot 3+4=2\cdot 27-18+4=54-18+4=40$

Mamy pochodną

$W^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6$

A stąd

$W^{\prime }\left(3\right)=6\cdot 3^2-6=6\cdot 9-6=54-6=48$

A zatem równanie stycznej do wykresu wielomianu W w punkcie x=3 ma postać

$$\begin{gathered} y=W^{\prime }\left(3\right)\left(x-3\right)+W\left(3\right) \\ y=48\left(x-3\right)+40 \\ y=48x-144+40 \\ \underline{y=48x-104} \end{gathered}$$