Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią...- Zadanie 12.30: Matematyka. Zbiór Zadań Maturalnych Lata 2002-2022. Poziom rozszerzony 500 zadań CKE z rozwiązaniami

Rozwiązanie

Rozważamy zbiór podany w zadaniu

$M = {1, 2, \dots, 3 n + 1}, n \in N$

Losujemy jednocześnie trzy liczby z tego zbioru. Wyznaczmy moc zbioru przestrzeni zdarzeń elementarnych, czyli liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru M:

$\overline{\overline{Ω}} = (3 3 n + 1) = \frac{( 3 n + 1 ) !}{3 ! \cdot ( 3 n + 1 - 3 ) !} = \frac{( 3 n + 1 ) !}{3 ! \cdot ( 3 n - 2 ) !} = \frac{( 3 n + 1 ) \cdot 3 n \cdot ( 3 n - 1 ) \cdot ( 3 n - 2 ) !}{6 \cdot ( 3 n - 2 ) !} == \frac{( 3 n + 1 ) \cdot 3 n \cdot ( 3 n - 1 )}{6} = \frac{( 3 n + 1 ) \cdot n \cdot ( 3 n - 1 )}{2}$

W zbiorze M znajduje się n liczb podzielnych przez 3, n+1 liczb dających przy dzieleniu przez 3 resztę 1 oraz n liczb dających przy dzieleniu przez 3 resztę 2.

Oznaczmy zdarzenie A - suma wylosowanych liczb przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 wtedy, gdy

1) dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1. Takich liczb jest:

$(2 n) \cdot (1 n + 1) = \frac{n !}{2 ! \cdot ( n - 2 ) !} \cdot (n + 1) = \frac{( n - 2 ) ! \cdot ( n - 1 ) \cdot n}{2 \cdot ( n - 2 ) !} \cdot (n + 1) = \frac{( n - 1 ) \cdot n \cdot ( n + 1 )}{2}$

2) dwie z tych liczb przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1, a jedna z nich daje przy dzieleniu przez 3 resztę 2. Takich liczb jest:

$(2 n + 1) \cdot (1 n) = \frac{( n + 1 ) !}{2 ! \cdot ( n + 1 - 2 ) !} \cdot n = \frac{( n - 1 ) ! \cdot n \cdot ( n + 1 )}{2 \cdot ( n - 1 ) !} \cdot n = \frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2}$

3) dwie z tych liczb przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2, a jedna z nich jest podzielna przez 3. Takich liczb jest:

$(2 n) \cdot (1 n) = \frac{n !}{2 ! \cdot ( n - 2 ) !} \cdot n = \frac{( n - 2 ) ! \cdot ( n - 1 ) \cdot n}{2 \cdot ( n - 2 ) !} \cdot n = \frac{n ^{2} ( n - 1 )}{2}$

Wyznaczmy moc zbioru A. Mamy:

$\overline{\overline{A}} = \frac{( n - 1 ) \cdot n \cdot ( n + 1 )}{2} + \frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2} + \frac{( n - 1 ) \cdot n ^{2}}{2} = \frac{n ^{3} - n + n ^{3} + n ^{2} + n ^{3} - n ^{2}}{2} = \frac{3 n ^{3} - n}{2} = \frac{n ( 3 n ^{2} - 1 )}{2}$

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:

$P (A) = \frac{\frac{n ( 3 n ^{2} - 1 )}{2}}{\frac{( 3 n + 1 ) \cdot n \cdot ( 3 n - 1 )}{2}} = \frac{n ( 3 n ^{2} - 1 )}{( 3 n + 1 ) \cdot n \cdot ( 3 n - 1 )} = \frac{3 n ^{2} - 1}{9 n ^{2} - 1}$