Obliczmy, ile różnych ciągów możemy otrzymać z ośmioelementowego zbioru

$\overline{\overline{\Omega }}=8!$  

Niech zdarzenie A polega na tym, że żadne dwie liczby parzyste ze sobą nie sąsiadują. Zauważmy, że 3 liczby ze zbioru Z są parzyste, a pozostałe nieparzyste. Rozważmy zdarzenie przeciwne A' - przynajmniej jedna liczba parzysta sąsiaduje z parzystą.

Mamy przypadki

1. gdy wszystkie trzy liczby parzyste są obok siebie
2. gdy dwie liczby parzyste są obok siebie, a trzecia nie

---

1. Zauważmy, że do ciągu samych liczby nieparzystych mamy 6 możliwości wstawienia 3 kolejnych liczb parzystych

$$\begin{gathered} PPPNNNNN,NPPPNNNN,NNPPPNNN, \\ NNNPPPNN,NNNNPPPN,NNNNNPPP \end{gathered}$$

Mamy możliwości

$6$

2. Do ciągu samych liczby nieparzystych możemy wstawić dwie liczby parzyste obok siebie na 6 różnych możliwości (podobnie jak w poprzednim przypadku). Pozostaje nam wstawić ostatnią - trzecią liczbę parzystą tak aby nie sąsiadowała z pozostałymi dwoma. W każdym przypadku można to zrobić na 5 sposobów, na przykład dla

$PPNNNNN$

mamy

$$\begin{gathered} PPNPNNNN,PPNNPNNN, \\ PPNNNPNN,PPNNNNPN, \\ PPNNNNNP \end{gathered}$$

Tak będzie w każdym przypadku, stąd

$6\cdot 5=30$

Łącznie konfiguracji z 1. i 2. mamy 36. Dodatkowo

• kolejność liczb parzystych może być na 3!=6 sposobów
• kolejność liczb nieparzystych może być na 5!=120 sposobów

Zatem

$\overline{\overline{A^{\prime }}}=36\cdot 6\cdot 120=25920$

---

Otrzymujemy

$P(A^{\prime })=\frac{25920}{8!}=\frac{25920}{40320}=\frac{9}{14}$

Ze wzoru

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)$

otrzymujemy

$P\left(A\right)=1-\frac{1}{14}=\frac{5}{14}$