Zaznaczmy kąt na rysunku.

---

Rozważmy podstawę graniastosłupa - jest to sześciokąt foremny złożony z 6 takich samych trójkątów równobocznych o boku długości a. Kolorem pomarańczowym zaznaczmy punkt gdzie przecina się wysokość przekroju, podstawa przekroju oraz przekątna podstawy graniastosłupa.

Zauważmy, że podstawę przekroju stanowią dwie wysokości takiego trójkąta równobocznego, zatem

$x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$  

Pomarańczowy punkt dzieli bok jednego z trójkątów na dwie równe części.

---

Rozważmy trójkąt prostokątny o bokach będących krawędzią boczną, wysokością przekroju oraz częścią przekątnej podstawy graniastosłupa. Będzie on miał postać

Wiemy, że 

$\alpha ={60}^{\circ }$

zatem jest to połowa trójkąta równobocznego. A stąd

$h=2\cdot \frac{1}{2}a=a$

$\underline{H=\frac{1}{2}a\sqrt{3}}$  

Zapiszmy wór na pole przekroju

$P_{\text{prz}}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$    

A stąd

$\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$

$a^2=16,a>0$    

$\underline{a=4}$  

---

Obliczmy objętość graniastosłupa. Pole podstawy to pole sześciokąta foremnego, zatem pole 6 takich samy trójkątów równobocznych.

$V=P_p\cdot H=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3}=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{6\cdot 4^2\cdot \sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{4\cdot 2}=\frac{{\cancel{6}}^3\cdot 3\cdot 4^3}{{\cancel{8}}^4}=\frac{9\cdot 4\cdot 4^2}{4}=9\cdot 4^2=144$