Skoro wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, to

$2x-371>0$

$2x>371$

$x>185\frac{1}{2}$    

Aby szereg będący sumą wyrazów ciągu geometrycznego był zbieżny powinno zachodzić

$\left|q\right|<1$  

W naszym przypadku

$q=\frac{1}{2x-371}$   

Zatem

$\left|\frac{1}{2x-371}\right|<1$  

$-1<\frac{1}{2x-371}<1$  

$-1<\frac{1}{2x-371}\wedge \frac{1}{2x-371}<1$  

$0<\frac{1}{2x-371}+\frac{2x-371}{2x-371}\wedge \frac{1}{2x-371}-\frac{2x-371}{2x-371}<0$

$0<\frac{2x-370}{2x-371}\wedge \frac{-2x+372}{2x-371}<0$  

$\left(2x-370\right)\left(2x-371\right)>0\wedge \left(-2x+372\right)\left(2x-371\right)<0$  

$x\in \left(-\infty ,185\right)\cup \left(185\frac{1}{2},+\infty \right)\wedge x\in \left(-\infty ,185\frac{1}{2}\right)\cup \left(186,+\infty \right)$  

Zatem

$x\in \left(186,+\infty \right)$  

A stąd najmniejsza liczba całkowita, która to spełnia to

$\underline{\underline{x=187}}$