a)

Obliczmy różnicę dowolnych kolejnych wyrazów tego ciągu

$a_{n+1}-a_n=\left(n+1-3\right)\left(2-p^2\right)-\left(n-3\right)\left(2-p^2\right)=\left(2-p^2\right)\left(n-2-\left(n-3\right)\right)=\left(2-p^2\right)\left(n-2-n+3\right)=2-p^2$  

Dla ustalonego p jest to stała różnica, zatem dla dowolnego p ciąg jest arytmetyczny.

---

b)

Dla

$p=2$  

mamy

$r=2-2^2=2-4=-2$  

$a_1=\left(1-3\right)\left(2-2^2\right)=\left(-2\right)\cdot \left(2-4\right)=\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)=4$  

Stąd

$a_{20}+\dots .+a_{40}=S_{40}-S_{19}=..$  

Ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego mamy

$\dots =\frac{2a_1+39r}{2}\cdot 40-\frac{2a_1+18r}{2}\cdot 19=20\left(2a_1+39r\right)-19\left(a_1+9r\right)=40a_1+780r-19a_1-171r=21a_1+609r=21\cdot 4+609\cdot \left(-2\right)=-1134$  

---

c)

Zapiszmy jak wygląd ciąg

$b_n=\left(n-3\right)\left(2-p^2\right)-pn=2n-p^{2}n-6+3p^2-pn=\left(-p^2-p+2\right)n-6+3p^2$  

Aby ciąg był stały powinno zachodzić

$-p^2-p+2=0$  

${\Delta }_p={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 2=1+8=9,\sqrt{{\Delta }_p}=3$

$p=\frac{1-3}{-2}=1\vee p=\frac{1+3}{-2}=-2$