Jeśli wielomian W jest podzielny przez (x-2), to przy dzieleniu daje resztę 0. To znaczy

$W\left(2\right)=0$

Jeśli W przy dzieleniu przez (x+1) daje resztę 6, to prawdziwe jest równanie

$W\left(-1\right)=6$   

Otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}W\left(2\right)=0\\ W\left(-1\right)=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot 2^3+\left(m^3+2\right)\cdot 2^2-11\cdot 2-2\left(2m+1\right)=0\\ 2\cdot {\left(-1\right)}^3+\left(m^3+1\right)\cdot {\left(-1\right)}^2-11\cdot \left(-1\right)-2\left(2m+1\right)=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot 8+4\left(m^3+2\right)-22-4m-2=0\\ -2+\left(m^3+2\right)+11-4m-2=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}16+4m^3+8-24-4m=0\\ m^3+2+7-4m=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4m^3-4m=0\mid :4\\ m^3+9-4m=6\mid -6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{m}^3-m=0\\ m^3-4m+3=0\end{array}$  

Zatem

$m^3-m=0\wedge m^3-4m+3=0$  

$m\left(m^2-1\right)=0\wedge m^3-m-3m+3=0$  

$m\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\wedge m\left(m^2-1\right)-3\left(m-1\right)=0$  

$m\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\wedge m\left(m-1\right)\left(m+1\right)-3\left(m-1\right)=0$  

$m\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\wedge \left(m-1\right)\left(m^2+m-3\right)=0$  

Obliczmy pomocniczo

${\Delta }_m=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$m_1=\frac{-1-3}{2}=-2\vee m_2=\frac{-1+3}{2}=1$

Stąd 

$m\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\wedge \left(m-1\right)\left(m+2\right)\left(m-1\right)=0$  

$\left[m=0\vee m=1\vee m=-1\right]\wedge \left[m=1\vee m=-2\right]$  

Stąd jedyną wartością parametru jest

$\underline{\underline{m=1}}$  

---

Dla wyznaczonej wartości parametru wyznaczymy pierwiastki. Mamy dla m=1

$W\left(x\right)=2x^3+\left(1^3+2\right)x^2-11x-2\cdot \left(2\cdot 1+1\right)=2x^3+3x^2-11x-6$   

Wiemy, że wielomian jest podzielny przez (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemnie.

Stąd

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+7x+3\right)$

Obliczmy pomocniczo

$\Delta =7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x=\frac{-7-5}{4}=\frac{-12}{4}=-3\vee x=\frac{-7+5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

Zatem

$W\left(x\right)=2\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$  

Pierwiastkami są

$\underline{\underline{x=2}}\vee \underline{\underline{x=-3}}\vee \underline{\underline{x=-\frac{1}{2}}}$