Dowolnym wielomian stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych ma postać

$W\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a,b,c,d\in \mathbb{Z}$  

Jeśli miałby spełniać warunki podane w zadaniu, to

$\{\begin{array}{l}W\left(2\right)=3\\ W\left(-2\right)=2\end{array}\left(\ast \right)$  

Mamy

$\{\begin{array}{l}a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d=3\\ a\cdot {\left(-2\right)}^3+b\cdot {\left(-2\right)}^2+c\cdot \left(-2\right)+d=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}8a+4b+2c+d=3\\ -8a+4b-2c+d=2\end{array}$  

Dodajmy równania stronami. Otrzymamy

$8b+2d=5$  

$2\left(4b+d\right)=5$  

Zauważmy, że lewa strona równania jest podzielna przez 2, a prawa strona nie. Zatem nie istnieją takie liczby całkowite b oraz d, aby takie równanie było spełnione (któraś wartość musiałaby być ułamkiem, aby równanie było prawdziwe).

Stąd nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych spełniający układ (*), co należało wykazać.