Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Skoro S jest środkiem odcinka AB to możemy obliczyć współrzędne punktu B.

$$\begin{gathered} S=\left(5,-1\right) \\ \left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(5,-1\right) \end{gathered}$$

Zatem

$$\begin{gathered} \frac{1+x_B}{2}=5\wedge \frac{-3+y_B}{2}=-1 \\ 1+x_B=10\wedge -3+y_B=-2 \\ {x}_B=9\wedge y_B=1 \end{gathered}$$

Stąd

$\underline{B=(9,1)}$

---

Punkt C jest równooddalony od wierzchołków A i B, bo

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Punkt C leży zatem na prostej zawierającej wysokość tego trójkąta (który jest równoramienny). Jest to symetralna odcinka AB. Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB.

$a_{AB}=\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Symetralna jest do niej prostopadła, zatem ma postać

$CS:y=-2x+b$

Przechodzi przez punkt S, a stąd

$$\begin{gathered} -2\cdot 5+b=-1 \\ -10+b=-1 \\ b=9 \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$CS:y=-2x+9$

Punt C jest na przecięciu się prostej y=x+10 oraz prostej CS, mamy

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}y=x+10\\ y=-2x+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}-2x+9=x+10\\ y=-2x+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}-3x=1\\ y=-2x+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=-2x+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=-2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}+9\end{array} \\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ y=9\frac{2}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$\underline{C=\left(-\frac{1}{3},9\frac{2}{3}\right)}$