Niech odcinek CD będzie wysokością trójkąta. Niech prosta CD ma równanie

$CD:y=ax+b$  

Prosta CD zawiera wysokość poprowadzoną na bok AB, zatem jest prostopadła do prostej AB. To oznacza, że współczynnik kierunkowy prostej CD jest liczbą odwrotną i przeciwną do współczynnika kierunkowego prostej podanej w zadaniu. Stąd mamy  

$CD:y=\frac{1}{2}x+b$  

W miejsce  x i y w powyższym równaniu wstawiamy współrzędne punktu C i obliczamy współczynnik b.

$3=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+b$

$3=-1+b\mid +1$  

$4=b$  

Zatem prosta CD ma równanie

$CD:y=\frac{1}{2}x+4$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu D - spodka wysokości poprowadzonej na podstawę AB. D jest punktem w którym przecinają się proste AB i CD. Współrzędne tego punktu będą zatem rozwiązaniem układu równań, na który składają się równania tych prostych.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+16\\ y=\frac{1}{2}x+4\end{array}$  

W miejsce y w drugim równaniu wstawiamy wyrażenie z pierwszego równania i otrzymujemy

$-2x+16=\frac{1}{2}x+4\mid \cdot 2$  

$-4x+32=x+8$  

$-4x-x=8-32$   

$-5x=-24\mid :\left(-5\right)$  

$x=\frac{24}{5}$  

A stąd

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{24}{5}+4=\frac{12}{5}+4=\frac{12}{5}+\frac{20}{5}=\frac{32}{5}$  

Tym samym punkt D ma współrzędne

$\underline{D=\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)}$  

---

Trójkąt ABC jest równoramienny, AB jest jego podstawą. To oznacza, że punkt D jest środkiem odcinka AB. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka i określamy współrzędne punktu A.

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}$

$\frac{24}{5}=\frac{x_A+3}{2}\mid \cdot 2$  

$\frac{48}{5}=x_A+3\mid -3$  

$\frac{48}{5}-3=x_A$  

Czyli

$x_A=\frac{48}{5}-3=\frac{48}{5}-\frac{15}{5}=\underline{\underline{\frac{33}{5}}}$  

Mamy również

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$  

$\frac{32}{5}=\frac{y_A+10}{2}\mid \cdot 2$   

$\frac{64}{5}=y_A+10\mid -10$  

$\frac{64}{5}-10=y_A$  

Czyli

$y_A=\frac{64}{5}-10=\frac{64}{5}-\frac{50}{5}=\underline{\underline{\frac{14}{5}}}$  

Zatem punkt A ma współrzędne 

$\underline{A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)}$  

---

Korzystamy ze wzoru na długość odcinka i obliczamy długość podstawy AB i wysokość CS trójkąta ABC.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(3-\frac{33}{5}\right)}^2+{\left(10-\frac{14}{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{15}{5}-\frac{33}{5}\right)}^2+{\left(\frac{50}{5}-\frac{14}{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{18}{5}\right)}^2+{\left(\frac{36}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{324}{25}+\frac{1296}{5}}=\sqrt{\frac{1620}{25}}=\frac{\sqrt{324}\cdot 5}{5}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$

$\left|CS\right|=\sqrt{{\left(-2-\frac{24}{5}\right)}^2+{\left(3-\frac{32}{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{10}{5}-\frac{24}{5}\right)}^2+{\left(\frac{15}{5}-\frac{32}{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{34}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{17}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1156}{25}+\frac{289}{25}}=\sqrt{\frac{1445}{25}}=\frac{\sqrt{189\cdot 5}}{5}=\frac{17\sqrt{5}}{5}$   

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta i otrzymujemy:

$P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|CS\right|=\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot \frac{{\cancel{18}}^9\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{17\sqrt{5}}{5}=\frac{9\cdot 17\cdot {\cancel{5}}^1}{{\cancel{25}}_5}=\frac{153}{5}$