Prosta zawierająca odcinek PQ jest prostopadła do danej prostej. Mamy

$PQ:y=\frac{1}{2}x+b$

ponieważ współczynnik kierunkowy jest odwrotny i przeciwny. Prosta ta przechodzi przez punkt P, zatem współrzędne tego punktu spełniają jej równanie.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\cdot 4+b=5 \\ 2+b=5 \\ b=3 \end{gathered}$$

Stąd

$PQ:y=\frac{1}{2}x+3$

---

Na przecięciu się prostych znajduje się punkt będący w połowie odcinka PQ. Wyznaczmy go.

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=\frac{1}{2}x+3\\ & y=-2x+7\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -2x+7=\frac{1}{2}x+3|-\frac{1}{2}x-7\\ & y=-2x+7\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -2,5x=-4|:(-2,5)\\ & y=-2x+7\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=\frac{8}{5}\\ & y=-2x+7\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=\frac{8}{5}\\ & y=-2\cdot \frac{8}{5}+7\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=\frac{8}{5}\\ & y=\frac{19}{5}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy punkt w połowie odcinka PQ.

$S=\left(\frac{8}{5},\frac{19}{5}\right)$

---

Wyznaczmy punkt Q. Mając dane P oraz S, ze wzoru na środek odcinka zachodzi

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& \frac{4+x_Q}{2}=\frac{8}{5}& |\cdot 2\\ & \frac{5+y_Q}{2}=\frac{19}{5}& |\cdot 2\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& 4+x_Q=\frac{16}{5}& |-4\\ & 5+y_Q=\frac{38}{5}& |-5\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x_Q=-\frac{4}{5}\\ & y_Q=\frac{13}{5}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$Q=\left(-\frac{4}{5},\frac{13}{5}\right)$