Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy długość h. 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$    
Odcinek oznaczony literą x stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

$x=\frac{1}{3}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

---

Z zależności trygonometrycznych w trójkącie o kącie 60° otrzymujemy

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{H}{x}$  

$\sqrt{3}=\frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$  

$\sqrt{3}=\frac{6H}{a\sqrt{3}}\mid \cdot a\sqrt{3}$  

$3a=6H\mid :6$  

$\frac{a}{2}=H$  

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą y.

$y=2x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

---

Wyznaczamy długość a, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ASO.

$y^2+H^2=7^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=49$  

$\frac{3a^2}{9}+\frac{a^2}{4}=49$  

$\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=49$  

$\frac{4a^2}{12}+\frac{3a^2}{12}=49$  

$\frac{7a^2}{12}=49\mid :7$

$\frac{a^2}{12}=7\mid \cdot 12$  

$a^2=84$  

$a=\sqrt{84}$  

$a=2\sqrt{21}$  

Wobec tego

$H=\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}$  

---

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{84\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{21}=\frac{1}{3}\cdot 21\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=21\sqrt{7}$