Wprowadźmy oznaczenia, niech jeden z boków prostokąta ma długość 3a a drugi 4a. Pole podstawy ostrosłupa równe jest 192, zatem

$$\begin{gathered} 4a\cdot 3a=192 \\ 12a^2=192|:12 \\ {a}^2=16,a>0 \\ a=4 \end{gathered}$$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość przekątnej podstawy d.

$$\begin{gathered} d^2={\left(4a\right)}^2+{\left(3a\right)}^2 \\ {d}^2={16}^2+{12}^2 \\ {d}^2=256+144 \\ {d}^2=400,d>0 \\ d=20 \end{gathered}$$  

Z zależności trygonometrycznych otrzymujemy

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{H}{\frac{d}{2}}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{10}\mid \cdot 10$

$\frac{10\sqrt{3}}{3}=H$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot 192\cdot H=64\cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3}$