Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Zauważmy, że odcinek CG jest wysokością trójkąta równobocznego ABC. Stąd

$h_p=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

Znamy pole trójkąta ABF, zatem

$P_{ABF}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot h=4h$

Mamy

$P_{ABF}=52\to 4h=52\to h=13$

Rozważmy trójkąt prostokątny AGF. Z twierdzenia Pitagorasa zachodzi

$$\begin{gathered} |FC{|}^2+|CG{|}^2=|FG{|}^2 \\ {H}^2+(4\sqrt{3}{)}^2=13^2 \\ {H}^2+48=169 \\ {H}^2=121,H>0 \\ H=11 \end{gathered}$$

Zatem obliczmy objętość tego graniastosłupa

$V=P_p\cdot H=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}\cdot 11=\frac{64\sqrt{3}}{4}\cdot 11=176\sqrt{3}$