a)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

 

Niech:

r - promień podstawy walca

h - wysokość walca

 

Zauważmy, że powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden z wymiarów jest równy wysokości walca, a drugi jest obwodem podstawy walca.

 

Z rysunku odczytujemy, że:

$\underset{\text{obwoˊd podstawy}}{\underbrace{2\pi r}}=20\sqrt{3}\pi \mid \cdot \frac{1}{2\pi }$  

$r=\frac{20\sqrt{3}\pi }{2\pi }$  

$r=\frac{20\sqrt{3}}{2}$  

$r=10\sqrt{3}$  

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny DAB:

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{\left|AB\right|}{\left|AD\right|}$  

$\sqrt{3}=\frac{20\sqrt{3}\pi }{h}\mid \cdot h$  

$\sqrt{3}\cdot h=20\sqrt{3}\pi \mid :\sqrt{3}$  

$h=20\pi$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca:

$P_c=2\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\pi r^2}}+\underset{\text{pole powierzchni bocznej}}{\underbrace{2\pi r\cdot h}}=$  

$=2\cdot \pi \cdot {\left(10\sqrt{3}\right)}^2+2\cdot \pi \cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\pi =$  

$=2\pi \cdot 100\cdot 3+400\sqrt{3}{\pi }^2=$  

$=\underline{\underline{600\pi +400\sqrt{3}{\pi }^2}}$  

---

b)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

 

Niech:

r - promień podstawy walca

h - wysokość walca

 

Zauważmy, że powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden z wymiarów jest równy wysokości walca, a drugi jest obwodem podstawy walca.

 

Z rysunku odczytujemy, że:

$h=6\pi$  

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ADC:

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{\left|CD\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6\pi }{2\pi r}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{r}$  

Stąd:

$\sqrt{3}\cdot r=3\cdot 3$  

$\sqrt{3}\cdot r=9\mid :\sqrt{3}$  

$r=\frac{9}{\sqrt{3}}$  

$r=\frac{9}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$r=\frac{9\sqrt{3}}{3}$  

$r=3\sqrt{3}$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca:

$P_c=2\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\pi r^2}}+\underset{\text{pole powierzchni bocznej}}{\underbrace{2\pi r\cdot h}}=$  

$=2\cdot \pi \cdot {\left(3\sqrt{3}\right)}^2+2\cdot \pi \cdot 3\sqrt{3}\cdot 6\pi =$  

$=2\pi \cdot 9\cdot 3+36\sqrt{3}{\pi }^2=$  

$=\underline{\underline{54\pi +36\sqrt{3}{\pi }^2}}$  

---

c)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

 

Niech:

r - promień podstawy walca

h - wysokość walca

 

Zauważmy, że powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego jeden z wymiarów jest równy wysokości walca, a drugi jest obwodem podstawy walca.

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ADC:

$\sin {45}^{\circ }=\frac{\left|CD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\pi r}{20\sqrt{2}\pi }$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2r}{20\sqrt{2}}$  

Stąd:

$2\cdot 2r=\sqrt{2}\cdot 20\sqrt{2}$  

$4r=20\cdot 2$  

$4r=40\mid :4$  

$r=10$  

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ADC:

$\cos {45}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{20\sqrt{2}\pi }$  

Stąd:

$2\cdot h=\sqrt{2}\cdot 20\sqrt{2}\pi$  

$2h=20\cdot 2\cdot \pi$  

$2h=40\pi \mid :2$  

$h=20\pi$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca:

$P_c=2\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\pi r^2}}+\underset{\text{pole powierzchni bocznej}}{\underbrace{2\pi r\cdot h}}=$  

$=2\cdot \pi \cdot {10}^2+2\cdot \pi \cdot 10\cdot 20\pi =$  

$=2\pi \cdot 100+400{\pi }^2=$  

$=\underline{\underline{200\pi +400{\pi }^2}}$