Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

---

I przypadek - wysokości leżą na przeciwległych ścianach

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że trójkąt zaznaczony na powyższym rysunku kolorem niebieskim jest równoboczny (trójkąt równoramienny, kąt między ramionami ma 60°, więc dwa pozostałe kąty również mają po 60°).

Stąd:

$a=10$  

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$h=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{10}^2}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{5\sqrt{3}}}=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 5\sqrt{3}=\underline{\underline{\frac{500\sqrt{3}}{3}}}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=\underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{10}^2}}+4\cdot \underset{\text{pole sˊciany bocznej}}{\underbrace{\left(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\right)}}=100+4\cdot 50=100+200=\underline{\underline{300}}$  

---

II przypadek - wysokości leżą na sąsiednich ścianach

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że trójkąt zaznaczony na powyższym rysunku kolorem niebieskim jest równoboczny (trójkąt równoramienny, kąt między ramionami ma 60°, więc dwa pozostałe kąty również mają po 60°).

Stąd:

$x=10$  

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90° (patrz trójkąt prostokątny równoramienny zaznaczony na powyższym rysunku kolorem pomarańczowym):

$x=\frac{a}{2}\sqrt{2}$  

Zatem:

$\frac{a}{2}\sqrt{2}=10\mid :\sqrt{2}$  

$\frac{a}{2}=\frac{10}{\sqrt{2}}$  

Stąd:

$a\sqrt{2}=2\cdot 10$  

$a\sqrt{2}=20\mid :\sqrt{2}$  

$a=\frac{20}{\sqrt{2}}$  

Z twierdzenia Pitagorasa (patrz trójkąt o przyprostokątnych h i ^a/₂ i przeciwprostokątnej 10):

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2={10}^2$  

$h^2+{\left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right)}^2=100$  

$h^2+\frac{100}{2}=100$  

$h^2+50=100$  

$h^2=100-50$  

$h^2=50$  

Długości odcinków są dodatnie (h>0), więc:

$h=\sqrt{50}$  

$h=\sqrt{25\cdot 2}$  

$h=5\sqrt{2}$  

Obliczamy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{\left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right)}^2}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{5\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{400}{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot 200\cdot 5\sqrt{2}=\underline{\underline{\frac{1000\sqrt{2}}{3}}}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=\underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{\left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right)}^2}}+4\cdot \underset{\text{pole sˊciany bocznej}}{\underbrace{\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{\sqrt{2}}\cdot 10\right)}}=\frac{400}{2}+{\cancel{4}}^2\cdot \frac{200}{{\cancel{2}}^1\sqrt{2}}=200+\frac{400}{\sqrt{2}}=$  

$=200+\frac{400\sqrt{2}}{2}=200+200\sqrt{2}=\underline{\underline{200\left(1+\sqrt{2}\right)}}$