Skoro ciąg jest zbieżny do zera, to

$\left|q\right|<1$

Zapiszmy sumę wyrazów o numerach nieparzystych

$a_1+a_3+a_5+\cdots =5$

$a_1+a_1{q}^2+a_1{q}^4+\cdots =5$

Zauważmy, że będzie to suma szeregu o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q^2$. Zauważmy, że ten szereg jest zbieżny z założenia $\left|q\right|<1$. Skorzystamy ze wzoru na sumę i otrzymujemy równanie

$\frac{a_1}{1-q^2}=5$

Zapiszmy sumę wyrazów o numerach parzystych

$a_2+a_4+a_6+\cdots =2$

$a_{1}q+a_1{q}^3+a_1{q}^5+\cdots =2$

Zauważmy, że będzie to suma szeregu o pierwszym wyrazie $a_{1}q$ i ilorazie $q^2$. Ten szereg jest również zbieżny. Skorzystamy ze wzoru na sumę i otrzymujemy równanie

$\frac{a_{1}q}{1-q^2}=2$

Otrzymaliśmy dwa równania

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\frac{a_1}{1-q^2}=5\\ \frac{a_{1}q}{1-q^2}=2\end{array}\end{array}$

Obliczmy

$a_1=5\left(1-q^2\right)$

Stąd

$\frac{5\left(1-q^2\right)q}{1-q^2}=2$

$5q=2$

$q=\frac{2}{5}$

Zatem

$a_1=5\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\right)=5\cdot \left(1-\frac{4}{25}\right)=5\cdot \frac{21}{25}=\frac{21}{5}=4\frac{1}{5}$

Otrzyamliśmy

$\underline{\underline{a_1=4\frac{1}{5}}},\underline{\underline{q=\frac{2}{5}}}$