Korzystając z własności podanej w zadaniu wiemy, że

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{{10}^n}=10$

Oraz

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2\cdot 10^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{10^n}=1\cdot 10=10$

ponieważ

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2}=1$

Zatem rozważając podaną nierówność

$\sqrt[n]{10^n}\le \sqrt[n]{10^n+4^n}\le \sqrt[n]{2\cdot 10^n}$

$a_n\le b_n\le c_n$

Z twierdzenia o trzech ciągach, skoro

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=10$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{c}_n=10$

to zachodzi

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=10$

czyli

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{10^n+4^n}=10$

co należało wykazać.