Oblicz...- Zadanie Ćwiczenie 4: Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$Symbol (n k), nazywany symbolem Newtona, oznacza liczb ę$

$(n k) = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k ) !}, gdzie n \in N, k \in N i n \geq k .$

Obliczamy:

$(107) = \frac{10 !}{7 ! \cdot ( 10 - 7 ) !} = \frac{10 !}{7 ! \cdot 3 !} = \frac{7 ! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7 ! \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{8 ^{4} \cdot 9 ^{3} \cdot 10}{1 \cdot 2 ^{1} \cdot 3 ^{1}} = 4 \cdot 3 \cdot 10 = \underline{\underline{120}}$

$(1514) = \frac{15 !}{14 ! \cdot ( 15 - 14 ) !} = \frac{15 !}{14 ! \cdot 1 !} = \frac{15 !}{14 ! \cdot 1} = \frac{15 !}{14 !} = \frac{14 ! \cdot 15}{14 !} = \underline{\underline{15}}$

$(1611) = \frac{16 !}{11 ! \cdot ( 16 - 11 ) !} = \frac{16 !}{11 ! \cdot 5 !} = \frac{11 ! \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16}{11 ! \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =$

$= \frac{12 ^{4} \cdot 13 \cdot 14 ^{7} \cdot 15 ^{3} \cdot 16 ^{4}}{1 \cdot 2 ^{1} \cdot 3 ^{1} \cdot 4 ^{1} \cdot 5 ^{1}} = 4 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 = \underline{\underline{4368}}$

$(1000) = \frac{100 !}{0 ! \cdot ( 100 - 0 ) !} = \frac{100 !}{1 \cdot 100 !} = \frac{100 !}{100 !} = \underline{\underline{1}}$

$(3015) = \frac{30 !}{15 ! \cdot ( 30 - 15 ) !} = \frac{30 !}{15 ! \cdot 15 !} = \frac{15 ! \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot \dots \cdot 29 \cdot 30}{15 ! \cdot 15 !} =$

$= \frac{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot \dots \cdot 29 \cdot 30}{15 !} =$

$= \frac{16 ^{2} \cdot 17 \cdot 18 ^{2} \cdot 19 \cdot 20 ^{2} \cdot 21 \cdot 22 ^{2} \cdot 23 \cdot 24 ^{2} \cdot 25 \cdot 26 ^{2} \cdot 27 \cdot 28 ^{2} \cdot 29 \cdot 30 ^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 ^{1} \cdot 9 ^{1} \cdot 10 ^{1} \cdot 11 ^{1} \cdot 12 ^{1} \cdot 13 ^{1} \cdot 14 ^{1} \cdot 15 ^{1}} =$

$= \frac{2 ^{1} \cdot 17 \cdot 2 ^{1} \cdot 19 \cdot 2 ^{1} \cdot 21 \cdot 2 ^{1} \cdot 23 \cdot 2 \cdot 25 ^{5} \cdot 2 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 2}{1 \cdot 2 ^{1} \cdot 3 \cdot 2 ^{1} \cdot 2 ^{1} \cdot 5 ^{1} \cdot 2 ^{1} \cdot 3 \cdot 7} =$

$= \frac{17 \cdot 19 \cdot 21 ^{3} \cdot 23 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 27 ^{3} \cdot 2 \cdot 29 \cdot 2}{9 ^{1} \cdot 7 ^{1}} =$

$= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 = 16 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 = \underline{\underline{155117520}}$

Uwaga. Odpowiedzi podane w podręczniku są błędne. Poprawne odpowiedzi do Ćwiczenia 4. zostały zapisane w podręczniku w odpowiedziach do Ćwiczenia 5.