Rozważamy trójkąt równoboczny, którego wierzchołki należą do wykresu funkcji kwadratowej

$f\left(x\right)=-x^2+4$  

Wzór funkcji jest podany w postaci kanonicznej, zatem wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f jest punkt 

$W=\left(0,4\right)$  

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.

Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x=p, czyli x=0. Skoro trójkąt ABC jest równoboczny, to jednym z wierzchołków tego trójkąta jest wierzchołek paraboli. Dwa pozostałe wierzchołki są symetryczne względem osi Oy.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Oznaczamy współrzędne wierzchołka B jako 

$B=\left(x,y\right),x>0$

Skoro wierzchołek B leży na paraboli, to

$y=-x^2+4$  

Zatem 

$B=\left(x,-x^2+4\right)$  

Prosta AB jest równoległa do osi Ox, zatem wierzchołek A jest symetryczny do wierzchołka B względem osi Oy, czyli ma współrzędne A=(-x,y). 

---

Skoro trójkąt ABW jest równoboczny, to 

$\left|BW\right|=\left|AB\right|$

Zauważmy, że

$\left|AB\right|=2x$  

Ze wzoru na długość odcinka zapisujemy długość odcinka BW. 

$\left|BW\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_W\right)}^2+{\left(y_B-y_W\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(-x^2+4-4\right)}^2}$  

$=\sqrt{x^2+{\left(-x^2\right)}^2}=\sqrt{x^2+x^4}$  

Skoro |BW|=|AB|, to otrzymujemy równanie:

$\sqrt{x^2+x^4}=2x$  

Obie strony równania są dodatnie, bo z założenia mamy, że x>0. Podnosimy obustronnie powyższe równanie do kwadratu i mamy

$x^2+x^4=4x^2$  

$x^4+x^2-4x^2=0$  

$x^4-3x^2=0$  

$x^2\left(x^2-3\right)=0$  

Stąd

$x^2=0\vee x^2-3=0$  

$x=0x^2=3$  

$\underline{\underline{x=\sqrt{3}}}\vee x=-\sqrt{3}$  

Otrzymaliśmy trzy rozwiązania, natomiast tylko jedno z nich spełnia warunek x>0. Stąd mamy, że

$x=\sqrt{3}$  

---

Mając x, obliczamy drugą współrzędną punktu B.

$y=-x^2+4=-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4=-3+4=1$

Zatem punkt B ma współrzędne 

$B=\left(\sqrt{3},1\right)$   

Punkt A jest symetryczny do punktu B względem osi Oy, zatem ma współrzędne

$A=\left(-\sqrt{3},1\right)$  

---

Odp. Szukany trójkąt ma współrzędne

$\underline{\underline{\left(0,4\right),\left(\sqrt{3},1\right),\left(-\sqrt{3},1\right)}}$