Symetralna odcinka

Osią symetrii odcinka (symetralną odcinka) nazywamy prostą prostopadłą do odcinka, przechodzącą przez jego środek

---

Mamy dany punkt B=(5,3). Z treści zadania wiemy, że symetralną odcinka AB jest prosta o równaniu

$y=2x+3$  

Zadanie rozwiążemy w następujących etapach:

1. Wyznaczymy równanie prostej AB. 

2.  Wyznaczymy środek odcinka AB jako przecięcie prostej AB i podanej symetralnej odcinka.

3. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, określimy współrzędne punktu A.

---

1. Równanie prostej AB.

Niech prosta AB ma równanie

$y=ax+b$  

O prostej AB wiemy, że jest prostopadła do symetralnej odcinka AB. To oznacza, że jej współczynnik kierunkowy jest liczbą odwrotną i przeciwną do współczynnika kierunkowego prostej y=2x+3. 

Zatem

$a=-\frac{1}{2}$  

Wobec tego równanie prostej AB sprowadza się do:

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Do prostej AB należy punkt B. W powyższym równaniu w miejsce x i y wstawiamy współrzędne punktu B i wyznaczamy wartość współczynnika b.

$3=-\frac{1}{2}\cdot \left(5\right)+b$

$3=-\frac{5}{2}\mid +\frac{5}{2}$  

$3+\frac{5}{2}=b$  

Czyli

$b=3+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}$  

Zatem prosta AB ma równanie

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$  

---

2. Środek odcinka AB.

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek. To oznacza, że punktem wspólnym prostej AB i symetralnej odcinka AB jest środek odcinka AB. 

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka AB, rozwiązując układ równań.

$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\end{array}$  

Rozwiązujemy powyższy układ np. metodą podstawienia. Wstawiamy do drugiego równania y z pierwszego równania i otrzymujemy równanie z niewiadomą x.

$2x+3=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\mid \cdot 2$

$4x+6=-x+11\mid +x$

$5x=11-6$   

$5x=5\mid :5$  

$x=1$  

Wstawiamy otrzymaną wartość x np. do pierwszego równania układu i obliczamy wartość y.

$y=2\cdot 1+3=5$

Zatem środek odcinka AB ma współrzędne

$S=\left(1,5\right)$  

---

3. Współrzędne punktu A.

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka i określamy współrzędne punktu A. 

Niech

$A=\left(x_A,y_A\right)$  

Mamy

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}$  

$1=\frac{x_A+5}{2}\mid \cdot 2$  

$2=x_A+5\mid -5$  

$-3=x_A$  

Czyli

$x_A=\underline{\underline{-3}}$  

Mamy również:

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$   

$5=\frac{y_A+3}{2}\mid \cdot 2$  

$10=y_A+3\mid -3$  

$7=y_A$  

Czyli

$y_A=\underline{\underline{7}}$   

Zatem punkt A ma współrzędne

$\underline{\underline{A=\left(-3,7\right)}}$