Rozważamy trapez ABCD, w którym na ramieniu B wybrano taki punkt E, że

$\left|\sphericalangle BAE\right|={30}^{\circ },\left|\sphericalangle CDE\right|={15}^{\circ }$   

$\left|AE\right|=6\left[\text{cm}\right],\left|DE\right|=4\left[\text{cm}\right]$  

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku. 

Rysunek:

Z punktu E poprowadziliśmy odcinek równoległy do podstaw trapezu, który przecina ramię AD w punkcie F. 

Zauważmy, że

$\left|\sphericalangle AEF\right|=\left|\sphericalangle BAE\right|={30}^{\circ }\text{(kąty naprzemianległe)}$  

$\left|\sphericalangle DEF\right|=\left|\sphericalangle CDE\right|={15}^{\circ }\text{(kąty naprzemianległe)}$  

To oznacza, że

$\left|\sphericalangle AED\right|={30}^{\circ }+{15}^{\circ }={45}^{\circ }$  

---

Aby wyznaczyć długość ramienia AD, korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie AED.

Rysunek:

${\left|AD\right|}^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos {45}^{\circ }$  

${\left|AD\right|}^2=16+36-48\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

${\left|AD\right|}^2=52-24\sqrt{2}$  

${\left|AD\right|}^2=4\left(13-6\sqrt{2}\right)\wedge \left|AD\right|>0$  

Czyli ramię AD ma długość

$\left|AD\right|=\sqrt{4\left(13-6\sqrt{2}\right)}=\underline{\underline{2\sqrt{13-6\sqrt{2}}}}\left[\text{cm}\right]$