Przedstaw daną liczbę w postaci logarytmu o podstawie...- Zadanie 9: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Prawa działań na logarytmach

Jeżeli a, b, x, y są liczbami dodatnimi oraz a≠ 1, to:

$1 . lo g_{a} x^{p} = p \cdot lo g_{a} x, gdzie p \in R$

$2 . lo g_{b} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b}, dla b > 0, b \neq = 1$

Mamy przedstawić liczbę

$lo g_{16} 81$

jako logarytm przy podstawie 2.

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy:

$lo g_{16} 81 = 2 \frac{lo g _{2} 81}{lo g _{2} 16} = 1 \frac{lo g _{2} 3 ^{4}}{lo g _{2} 2 ^{4}} = \frac{4 lo g _{2} 3}{4 1 lo g _{2} 2} = \underline{\underline{lo g_{2} 3}}$

Mamy przedstawić liczbę

$lo g_{2} 17$

jako logarytm przy podstawie 2.

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy:

$lo g_{2} 17 = 2 \frac{lo g _{2} 17}{lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{2} 17}{lo g _{2} 2 ^{\frac{1}{2}}} = 1 \frac{lo g _{2} 17}{\frac{1}{2} \cdot 1 lo g _{2} 2} = 2 lo g_{2} 17 = lo g_{2} 17^{2} = \underline{\underline{lo g_{2} 289}}$

Mamy przedstawić liczbę

$lo g_{4} 9$

jako logarytm przy podstawie 2.

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy:

$lo g_{0, 25} 0, 04 = 2 \frac{lo g _{2} 0 , 04}{lo g _{2} 0 , 25} = \frac{lo g _{2} ( 0 , 2 ) ^{2}}{lo g _{2} ( 0 , 5 ) ^{2}} = 1 \frac{2 lo g _{2} 0 , 2}{2 - 1 lo g _{2} \frac{1}{2}} =$

$= - lo g_{2} \frac{1}{5} = 1 lo g_{2} (\frac{1}{5})^{- 1} = \underline{\underline{lo g_{2} 5}}$

Mamy przedstawić liczbę

$lo g_{22} 9$

jako logarytm przy podstawie 2.

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy:

$lo g_{22} 9 = 2 \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} ( 2 2 )} = \frac{lo g _{2} 3 ^{2}}{lo g _{2} ( 2 ^{1} \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} )} = \frac{lo g _{2} 3 ^{2}}{lo g 2 ^{\frac{3}{2}}} = 1 \frac{2 lo g _{2} 3}{\frac{3}{2} \cdot 1 lo g _{2} 2} =$

$= 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot lo g_{2} 3 = \frac{4}{3} lo g_{2} 3 = 1 lo g_{2} 3^{\frac{4}{3}} = lo g_{2} (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}) = \underline{\underline{lo g_{2} 3 33}}$