Wyznacz wartości b i c...- Zadanie 13: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że równanie kwadratowe

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

ma dwa różne rozwiązania x₁ i x₂, gdy

$Δ > 0$

Rozwiązania te spełniają warunki

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} oraz x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Powyższe wzory nazywamy wzorami Viète'a.

Rozważamy funkcję kwadratową

$f (x) = x^{2} + b x + c$

Wiemy, że ma ona miejsca zerowe x₁ i x₂, które spełniają warunki:

$x_{1} = 1 \land x_{1} \cdot x_{2} = - 2$

Ze wzorów Viète'a mamy:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Zatem

$- 2 = \frac{c}{1}$

Czyli

$c = - 2$

Zatem funkcja f wyraża się wzorem:

$f (x) = x^{2} + b x - 2$

Skoro $x_{1} = 1$ jest miejscem zerowym, to $f (1) = 0$

$1^{2} + b \cdot 1 - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Otrzymujemy, że

$b = 1$

Odp.: $b = 1, c = - 2$

Rozważamy funkcję kwadratową

$f (x) = x^{2} + b x + c$

Wiemy, że ma ona miejsca zerowe x₁ i x₂, które spełniają warunki:

$x_{1} = 2 \land x_{1} + x_{2} = 3$

Ze wzorów Viète'a mamy:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Zatem

$3 = - \frac{b}{1}$

$- b = 3 ∣ \cdot (- 1)$

Czyli

$b = - 3$

Zatem funkcja f wyraża się wzorem:

$f (x) = x^{2} - 3 x + c$

Skoro $x_{1} = 2$ jest miejscem zerowym, to $f (2) = 0$

$2^{2} - 3 \cdot 2 + c = 0$

$4 - 6 + c = 0$

$- 2 + c = 0$

Stąd

$c = 2$

Odp.: $b = - 3, c = 2$

Rozważamy funkcję kwadratową

$f (x) = x^{2} + b x + c$

Wiemy, że ma ona miejsca zerowe x₁ i x₂, które spełniają warunki:

$x_{1} \cdot x_{2} = 6 \land x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Ze wzorów Viète'a mamy:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{c}{1} = c$

Stąd

$c = 6$

Zauważmy, że sumę kwadratów miejsc zerowych możemy przekształcić ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 6 x_{1} \cdot x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 12$

Ze wzorów Viète'a mamy:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = \frac{- b}{1} = - b$

Czyli

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (- b)^{2} - 12 = b^{2} - 12$

Wiemy, że

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Zatem

$b^{2} - 12 = 13$

$b^{2} = 25$

$b = 5 \lor b = - 5$

Odp.: ${b = - 5 c = 6 \lor {b = 5 c = 6$

Rozważamy funkcję kwadratową

$f (x) = x^{2} + b x + c$

Wiemy, że ma ona miejsca zerowe x₁ i x₂, które spełniają warunki:

$1) \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = 4 \land 2) \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} = 10$

Przekształcamy podane warunki:

$1) \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1} \cdot x _{2}} + \frac{x _{1}}{x _{1} \cdot x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} \cdot x _{2}} = \dots$

Korzystamy ze wzorów Viète'a i otrzymujemy:

$\dots = \frac{\frac{- b}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{- b}{c}$

Zatem

$\frac{- b}{c} = 4 (*)$

Przekształcamy drugi warunek:

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2}$

Stąd

$\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} = \frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} \cdot x _{2}}{( x _{1} \cdot x _{2} ) ^{2}} =$

$= \frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2}}{( x _{1} \cdot x _{2} ) ^{2}} - 2 \cdot \frac{x _{1} \cdot x _{2}}{( x _{1} \cdot x _{2} ) ^{2}} = (\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} \cdot x _{2}})^{2} - \frac{2}{x _{1} \cdot x _{2}} = \dots$

Korzystamy ze wzorów Viète'a i otrzymujemy:

$\dots = (\frac{\frac{- b}{a}}{\frac{c}{a}})^{2} - \frac{2}{\frac{c}{a}} = (\frac{- b}{c})^{2} - \frac{2 a}{c} = (\frac{- b}{c})^{2} - \frac{2}{c} = \dots$