Założenia:

$a>b>0$ 

Teza:

$a^3-b^3<3a^2\left(a-b\right)$

---

Dowód:

Przekształcamy w sposób równoważny nierówność. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$\underset{a^3-b^3}{\underbrace{(a-b)(a^2+ab+b^2)}}<3a^2(a-b)$

$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-3a^2\left(a-b\right)<0$

$3a^2\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)>0$

Wyłączamy wspólny czynnik (a-b) poza nawias.

$\left(a-b\right)\left(3a^2-a^2-ab-b^2\right)>0$

$\left(a-b\right)\left(2a^2-ab-b^2\right)>0$

$\left(a-b\right)\left(a^2-ab+a^2-b^2\right)>0$

---

Rozkładamy wyrażenie będące w drugim nawiasie na czynniki. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\left(a-b\right)\left[a\left(a-b\right)+\left(a-b\right)(a+b\right)]>0$

$\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)(a+a+b\right)]>0$

Otrzymujemy zatem, że nierówność można sprowadzić do postaci:

${\left(a-b\right)}^2\left(2a+b\right)>0$

---

Z założenia wiemy, że a>b, co oznacza, że a-b>0,  a stąd wnioskujemy , że

${\left(a-b\right)}^2>0$

Skoro a>b>0, to

$2a+b>0$

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, co oznacza, że

${\left(a-b^{}\right)}^2\left(2a+b\right)>0$

Czyli

$a^3-b^3<3a^2\left(a-b\right)$

co należało dowieść.