Informacja do zadań 6.1 i 6.2:

Rozważamy liczby

$a={\log }_{2}3,b={\log }_{2}13$

---

Teza:

Liczba b jest niewymierna. 

---

Dowód:

Zauważmy, że liczba b jest dodatnia. 

Załóżmy niewprost, że liczba b jest wymierna. Wtedy istnieją liczby naturalne p i q, takie, że 

$NWD\left(p,q\right)=1$

oraz

${\log }_{2}13=\frac{p}{q}$

Czyli

$q{\log }_{2}13=p$

Z własności logarytmu otrzymujemy

${\log }_{2}13^q=p$

Z definicji logarytmu mamy, że

$2^p=13^q$

Zauważmy, że liczba 2^p jest parzysta, ponieważ jest potęgą liczby parzystej.

Liczba 13^q jest nieparzysta, ponieważ jest potęgą liczby nieparzystej.

To oznaczałoby, że liczba parzysta jest równa liczbie nieparzystej. Stąd mamy, że równość

$2^p=13^q$

jest sprzeczna. To oznacza, że postawione założenie jest fałszywe. Stąd wnioskujemy, że liczba

$b={\log }_{2}13$

jest niewymierna,

co należało wykazać.